Como posso aproximar uma integral incorreta?

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Eu tenho uma função tal que seja finita e quero aproximar essa integral. $f(x,y,z)$
$\int_{R^3} f(x,y,z)dV$

Eu estou familiarizado com regras de quadratura e aproximações de integrais de monte carlo, mas vejo algumas dificuldades em implementá-las em um domínio infinito. No caso de Monte Carlo, como se faz uma amostragem de uma região infinita (especialmente se as regiões que contribuem mais significativamente para a integral são desconhecidas)? No caso da quadratura, como encontro os pontos ideais? Devo simplesmente consertar uma região arbitrariamente grande centrada na origem e aplicar regras de quadratura esparsa? Como posso aproximar essa integral?

monte-carlo quadrature

— Paulo
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Em uma dimensão, você pode mapear seu intervalo infinito para um intervalo finito usando integração por substituição, por exemplo,

\int_{uma}^{b} f (x) d x = \int_{{você}^{- 1} (uma)}^{{você}^{- 1} (b)} f (você (t)) {você}^{'} (t) d t

$\int_a^b f(x)\,\mathrm dx \quad=\quad \int_{u^{-1}(a)}^{u^{-1}(b)}f(u(t))u'(t)\,\mathrm dt$

Onde é alguma função que vai para o infinito em algum intervalo finito, por exemplo, : $u(x)$ $\tan(x)$

\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x = 2 \int_{- π / 2}^{π / 2} f (\tan (t)) \frac{1}{\cos (2 t) + 1} d t

$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,\mathrm dx \quad=\quad 2\int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(\tan(t))\frac{1}{\cos(2t)+1} \,\mathrm dt$

Você pode usar qualquer rotina regular de quadratura numérica para a integral finita modificada.

A substituição de múltiplas variáveis é um pouco mais complicada, mas é bem descrita aqui .

— Pedro
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Isso é muito interessante ... Eu nunca considerei a possibilidade de substituição! Mas a escolha da função

tem algum efeito na precisão da aproximação?

u (t)

$u(t)$

— Paul

@ Paul: Sim, definitivamente! A função

deve ser o mais suave possível, de modo a manter

mais suave possível, permitindo assim uma integração mais precisa.

u (t)

$u(t)$

f (u (t))

$f(u(t))$

— Pedro

Isso é verdade, mas o que eu tinha em mente era a taxa na qual u (t) converge para o infinito? Isso também afeta a precisão?

— Paul

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@ Paul: Não sei se entendi sua pergunta corretamente, mas a função precisa terminar no infinito em um ponto ou outro. Se levar algum tempo e aumentar acentuadamente, isso introduzirá alguns gradientes grandes em

, o que dificulta a integração e pode afetar a precisão.

f (u (t))

$f(u(t))$

— Pedro

1

Sua derivada para a tangente estava errada; Eu consertei isso.

— JM

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A maneira padrão de fazer isso é extrair da expressão para um prefator exponencial, transformá-lo em e, em seguida, usar regras de quadratura gaussiana (ou Gauss Kronrod) com isso como peso. Se é suave, isso geralmente gera excelentes resultados. $f(x)$ $e^{-x^2}$ $f$

No , o mesmo funciona com o peso , e fórmulas de cubatura apropriadas podem ser encontradas, por exemplo, no livro de Engels, quadratura numérica e cubatura. $R^3$ $e^{-|x|^2}$

As fórmulas on-line estão em http://nines.cs.kuleuven.be/ecf/

— Arnold Neumaier
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Isso funciona bem se o seu integrando for aproximadamente exp (-x ^ 2). Se o seu integrando é aproximadamente normal, mas centrado longe da origem, essa abordagem pode funcionar mal.

— John D. Cook

1

@ JohnD.Cook: Foi por isso que escrevi '' extrair um prefator exponencial, transformar isso em

'', que geralmente envolve uma transformação linear, combinando uma tradução movendo o centro para a origem e rotações e escalas para fazer o O nível define aproximadamente esférico. A função em si pode estar bem longe do normal.

e^{- x^{2}}

$e^{−x^2}$

— Arnold Neumaier

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Para quadratura unidimensional, você pode verificar o livro no Quadpack (um velho dourado, mas ainda muito relevante na quadratura unidimensional) e as técnicas usadas no algoritmo QAGI, um integrador automático para um alcance infinito.

Outra técnica é a fórmula de quadratura de dupla exponencial, bem implementada por Ooura por um intervalo infinito .

Para cubatura, você pode consultar a Enciclopédia de fórmulas de cubatura de Ronald Cools.

— GertVdE
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Observe que a quadratura exponencial dupla é essencialmente um método de substituição; você faz uma substituição que transforma seu integrante infinito alcance em outro integrante infinita gama cuja taxa é, assim, duplamente exponencial decadência ...

— JM

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@JM Correct. E você faz isso para tirar o melhor proveito da fórmula de somação de Euler-Mclaurin para a regra trapezoidal, assim como a transformação IMT e a transformação TANH. Um artigo agradável na história da DE escrito por um dos fundadores pode ser encontrada aqui

— GertVdE

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$f(x)$ $\tilde f(x)$ $\tilde f$ $f$

$f(x)$ em toda a linha usando uma função mais simples, por exemplo $\tilde f(x)=e^{-x^2}p(x)$ com um polinômio $p(x)$ que interpola $f(x)e^{x^2}$ em vários pontos. Existem então fórmulas simples para calcular a integral $\int_{-\infty}^{\infty} \tilde f(x) dx$ . A escolha dos pontos de interpolação segue uma lógica semelhante à da derivação de quadratura usual.

— Wolfgang Bangerth
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Se você deseja usar a integração de Monte Carlo, pode começar usando a amostragem importante com um amostrador que aproximadamente se aproxima do seu integrando. Quanto melhor o seu amostrador corresponder ao seu integrando, menor será a variação em suas estimativas integrais. Não importa que o seu domínio seja infinito, desde que seu amostrador tenha o mesmo domínio.

— John D. Cook
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