Método de interpolação eficiente para redes não estruturadas?

Gostaria de conhecer um bom método para interpolar dados entre duas grades não estruturadas, onde uma grade é uma versão mais grossa da outra.

A eficiência é muito importante para mim, pois estou resolvendo um problema temporário de PDE em que preciso transferir dados entre as grades a cada etapa da solução.

Pensei em usar o kd-tree para pesquisar o nó mais próximo de um determinado ponto; depois, usaria as funções de forma desse elemento (simulação FEM) para interpolar os dados. Esta é uma boa solução? Existem melhores?

Você também conhece alguma biblioteca robusta e confiável em C / C ++ para esta tarefa?

* Eu sei que existe uma pergunta semelhante, mas solicita o método mais preciso em uma grade estruturada.

Grades não estruturadas têm seu lugar.

Você pode consultar a ESMF (Earth System Modeling Framework). Eles têm algum código para reorganizar - especificamente para esse fim - e também fizeram algumas coisas bacanas com código paralelo. Todo o sistema foi projetado para acoplar modelos, portanto também pode haver outras coisas úteis.

Algumas outras notas:

"nenhuma maneira de fazer isso de forma eficiente para um número significativo de pontos"

bem, eficiente é uma coisa relativa - uma vez que você tenha a grade em uma estrutura de árvore, poderá pesquisá-la em O (logn), que pode ser bem rápido, embora não em O (1), como pesquisar em uma grade regular é.

Além disso, parece que enquanto a interpolação precisa ser feita a cada passo, se as grades não estiverem se adaptando, o mapeamento de uma grade para outra permanece constante. Portanto, você pode calcular esse mapeamento (ou seja, qual elemento em cada grade corresponde a qual elemento na outra) da maneira que for mais conveniente, armazená-lo e nunca mais precisar computá-lo novamente (até que as grades mudem).

Isso deixa você com o código de interpolação - onde você deseja equilibrar precisão e desempenho - a interpolação linear simples através de um triângulo é rápida e pode ser boa o suficiente.

"Pensei em usar o kd-tree para pesquisar o nó mais próximo de um determinado ponto, então usaria as funções de forma desse elemento"

lembre-se de que o nó mais próximo não recebe o elemento - então você precisará fazer um pouco mais para encontrar o elemento que deseja. Uma opção seria usar uma rtree, que armazena / pesquisa por caixa delimitadora - você obterá mais de um elemento a cada pesquisa, mas poderá verificar qual deles está correto diretamente.

Se eu entendi direito, você deseja preencher os valores da grade mais fina interpolando na grade mais grossa. Uma maneira de fazer interpolação linear em uma grade não estruturada é com as triangulações de Delaunay (é assim que os comandos griddata e TriScatteredInterp do Matlab são implementados). Depois de construir uma triangulação dos pontos da grade, a interpolação se resume a localizar o triângulo que contém o ponto de destino, calculando suas coordenadas baricêntricas e usando os valores da função nos vértices para calcular o valor interpolado. CGAL pode construir triangulações n-dimensionais (para o meio n) e também possui um módulo de interpolação 2d interno .

É o que estou fazendo no momento, exceto que estou transferindo valores de função em pontos de quadratura, não em nós. Estou implementando a técnica explicada na resposta escolhida para minha pergunta aqui: Descobrindo quais pontos dos triângulos estão .

$A$$B$$A$$B$

1. $B$$p_i$$A$
2. $p_i$
3. $A$$A$
4. $A$$p_1$$p2$$p3$$A$

$N$$M$$A$$O(N \sqrt{M})$$O(max(N,M))$

Esse é o tipo de trabalho para o qual você realmente deseja evitar malhas não estruturadas, pois não há como fazer isso de forma eficiente para um número significativo de pontos. Você deve considerar o uso de malhas que sejam pelo menos de alguma forma relacionadas a cada uma. Por exemplo, se ambos forem obtidos a partir do refinamento hierárquico de uma malha grossa, você poderá descobrir de maneira relativamente fácil e eficiente onde os pontos de interpolação de uma malha estão localizados na outra malha.