Semelhante à causalidade mencionada por Wolfgang em seu post, pudemos ver o motivo pelo qual a dimensão do tempo é especial do ponto de vista do espaço-tempo de Minkowski:
O espaço-tempo possui um produto interno definido como
se e são dois 1- no espaço-tempo de Minkowski:
, é definido de maneira semelhante, a intuição por trás da definição de um produto interno (ou melhor, métrica) é impor a idéia de velocidade absoluta da luz, de modo que dois pontos diferentes (eventos) no espaço-tempo tenham distância zero (acontece no "mesmo tempo", como se estivéssemos observando o movimento de galáxias a bilhões de anos-luz de distância, como se estivessem se movendo agora) se estiverem no mesmo cone de luz.( A , B ) = A x B x + A y B y + A z B z - 1(3+1)ABA=Axdx+Aydy+Azdz+AtdtB
(A,B)=AxBx+AyBy+AzBz−1c2AtBt
ABA=Axdx+Aydy+Azdz+AtdtB
Como você pode ver, esse produto interno não é positivo definitivo devido à presença do tempo dimensional dimensionado pela velocidade da luz , portanto, falando intuitivamente, ao tratar um problema referente a uma quantidade propagada no espaço-tempo, não podemos simplesmente aplicar teoremas em 3 métrica euclidiana tridimensional para um espaço-tempo tridimensional, pense nas teorias elípticas tridimensionais de PDE e seus métodos numéricos correspondentes diferem drasticamente das teorias hiperbólicas de PDE. ( 3 + 1 )c(3+1)
Talvez fora de tópico, mas outra grande diferença de espaço versus espaço-tempo (elíptica x hiperbólica) é que a maioria das equações elípticas modela o equilíbrio e a elipticidade nos dá regularidade "agradável", enquanto existem todos os tipos de descontinuidades em problemas hiperbólicos (choque, rarefação, etc).
EDIT: Não sei se existe um artigo dedicado sobre a diferença além de fornecer a definição, com base no que aprendi antes, a equação elíptica típica, como a equação ou elasticidade de Poisson, modela um fenômeno estático, tem uma solução "suave" se os dados e Se o limite do domínio de interesse é "suave", isso se deve à elipticidade (ou melhor, à propriedade positiva definida) do operador diferencial governante; esse tipo de equação nos leva a uma abordagem do tipo Galerkin muito intuitiva (multiplique uma função e integração de teste por peças), o elemento finito contínuo típico funciona bem. Coisas semelhantes se aplicam à equação parabólica, como a equação do calor, que é essencialmente uma equação elíptica marchando no tempo, tem uma propriedade de "suavização" semelhante; um canto agudo inicial será suavizado ao longo do tempo,
Para um problema hiperbólico, normalmente derivado de uma lei de conservação, é "conservador" ou "dispersivo". Por exemplo, a equação de advecção linear, descrevendo certos fluxos de quantidade com um campo vetorial, conserva como é inicialmente essa quantidade específica; apenas se move espacialmente ao longo desse campo vetorial, as descontinuidades se propagam. A equação de Schrodinger, outra equação hiperbólica, no entanto, é dispersiva; é a propagação de uma quantidade complexa; um estado inicial não-oscilatório se tornará pacotes de ondas oscilatórias diferentes ao longo do tempo.
Como você mencionou "escalada no tempo", você pode pensar que a quantidade "flui" no tempo "campos" com uma certa velocidade como causalidade, muito semelhante à equação de advecção linear BVP, precisamos apenas impor a condição de limite de entrada, isto é, como é a quantidade ao fluir para o domínio de interesse, e a solução nos diria como é a quantidade ao fluir para fora, uma idéia muito semelhante a qualquer método que utiliza o tempo. Resolver uma equação de advecção 2D no espaço é como resolver um problema de propagação unilateral em 1D no espaço-tempo. Para esquemas numéricos, você pode pesquisar no Google sobre o espaço-tempo FEM.