Argumento facilmente compreensível de que métodos normais de Runge – Kutta não podem ser generalizados para SDEs?

Uma abordagem ingênua para resolver equações diferenciais estocásticas (SDEs) seria:

faça um método Runge – Kutta com várias etapas,
usar uma discretização suficientemente fina do processo subjacente da Wiener,
faça com que cada etapa do método Runge – Kutta seja análoga a um Euler – Maruyama.

Agora, isso falha em vários níveis e eu entendo o porquê. No entanto, agora tenho a tarefa de convencer as pessoas desse fato que têm pouco conhecimento dos métodos de Runge-Kutta e das equações diferenciais estocásticas para começar. Todos os argumentos que conheço não são nada que eu possa comunicar bem no contexto fornecido. Portanto, estou procurando um argumento facilmente compreensível de que a abordagem acima está condenada.

runge-kutta education stochastic-ode

— Wrzlprmft
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@BiswajitBanerjee: Estou ciente disso e, de fato, não afirmo que compreendi isso da maneira mais profunda possível. Ainda assim, não acho que fornecer todos os argumentos aqui melhore a resposta, pois aqueles que podem dar uma resposta estão cientes deles. Além disso, esse caso é um tanto especial, pois explica por que algo não funciona, para o qual naturalmente existem muitas respostas, começando com "testamos e ele falhou".

— 28417 Wrzlprmft

Eu não estava falando sobre especialistas em EDOs estocásticas, mas no leitor médio que entende variáveis aleatórias e RK quando eu disse "nós". No entanto, não vou incomodá-lo ainda mais se você não quiser dar um exemplo do seu pensamento.

— Biswajit Banerjee

Vamos dar uma equação diferencial estocástica:

X_{t} = f (t, X_{t}) d t + g (t, X_{t}) d W_{t}

$X_t = f(t,X_t)dt + g(t,X_t)dW_t$

Aqui estão alguns argumentos diferentes que levam a entendimentos intuitivos de por que a matemática por trás dos métodos de ordem superior é necessária. Discutirei em termos de ordem forte, que é o mesmo que dizer "para um dado movimento browniano , quão bem a integral numérica resolve essa trajetória?" $W(t)$

Regularidade da equação

Antes de tudo, o método proposto não leva em consideração o fato de que é continuamente diferenciável. Na verdade, você pode usar os resultados de Rossler para mostrar que estender os métodos normais de RK, como você sugeriu, resultará em métodos convergentes, mas eles terão apenas uma ordem forte de 0,5. A razão é porque eles foram derivados utilizando cálculo com sendo diferenciável e tendo uma série de Taylor. O movimento browniano não é diferenciável e, em vez disso, possui uma continuidade de Titular de como $X_t$ $X_t$ $\alpha < 0.5$

$\alpha$ $\alpha$ $\frac{1}{2}$ $dt$ $\Delta t$ $dW_t$ $N(0,dt)$ $X_t$

Correlações instantâneas e integrais iterados

$X_t = X_0 + \Delta t f(t,X_t)$ $dt^2$ $dt^2$ $dW_t^i dW_t^j$ $dt$ $dW_t^2$ $dt$ $dW^2 - dt$

Efeito Médio da Difusão

$\mathcal{O}(\Delta t)$ $g$

$g$ $g$ $X_t$ $dW_t$ $dW_t$ $\sqrt{\Delta t}$ $g(t,X_t)$

\frac{g (t + Δ t, X_{t + Δ t}) - g (t, X_{t})}{\sqrt{Δ t}}

$\frac{g(t+\Delta t,X_{t+\Delta t}) - g(t,X_t)}{\sqrt{\Delta t}}$

$X_{t + \Delta t} = X_t + g(t,X_t)\sqrt{\Delta t}$

$g$ $X_t$ $g(t,X_t)\sqrt{\Delta t}$ $c_i$ $X_{t + c_i\Delta t}$ $g(t,X_t)\sqrt{c_i \Delta t}$ $g(t,X_t)\sqrt{\Delta t}$

Conclusão

$\mathcal{O}(\Delta t)$ $\mathcal{O}(\sqrt{\Delta t})$

É claro que, em algumas circunstâncias, existem maneiras de encontrar generalizações apropriadas que fornecem métodos de ordem superior, mas deixarei isso como um fio pendente, porque esse é um ponto de um artigo que apresentarei em breve. Espero que isto ajude.

— Chris Rackauckas
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