Maneira numericamente estável de calcular ângulos entre vetores

Ao aplicar a fórmula clássica para o ângulo entre dois vetores:

α = \arccos \frac{v_{1} \cdot v_{2}}{‖ v_{1} ‖ ‖ v_{2} ‖}

$\alpha = \arccos \frac{\mathbf{v_1} \cdot \mathbf{v_2}}{\|\mathbf{v_1}\| \|\mathbf{v_2}\|}$

verifica-se que, para ângulos muito pequenos / agudos, há uma perda de precisão e o resultado não é exato. Conforme explicado nesta resposta de estouro de pilha , uma solução é usar o arco tangente:

α = \arctan 2 (‖ v_{1} \times v_{2} ‖, v_{1} \cdot v_{2})

$\alpha = \arctan2 \left(\|\mathbf{v_1} \times \mathbf{v_2}\|, \mathbf{v_1} \cdot \mathbf{v_2} \right)$

E isso realmente dá melhores resultados. No entanto, gostaria de saber se isso daria resultados ruins para ângulos muito próximos de $\pi / 2$ . É esse o caso? Em caso afirmativo, existe alguma fórmula para calcular com precisão ângulos sem verificar se há tolerância dentro de um ifgalho?

algorithms precision numerical-limitations

— astrojuanlu
fonte

Isso vai depender da implementação da função tangente inversa de dois parâmetros. As versões lentas e estáveis alternam condicionalmente entre trabalhar com x / ye y / x para manter a precisão, enquanto as mais rápidas colocam as coisas no quadrante certo e, portanto, não são mais precisas que a versão de um parâmetro.

— origimbo

Você deve definir "perda de precisão": suponha que a resposta correta seja e obtenha . Você precisa de ou ?

α

$\alpha$

α + Δ

$\alpha + \Delta$

Δ ≪ α

$\Delta \ll \alpha$

Δ ≪ π

$\Delta \ll \pi$

— Stefano M

Nesse caso, a resposta correta foi e eu recebi , ambos .

α

$\alpha$

α \cdot 10^{8}

$\alpha \cdot 10^8$

≪ 1

$\ll 1$

— Astrojuanlu

Respostas:

( Eu testei essa abordagem antes e lembro que funcionou corretamente, mas não a testei especificamente para esta pergunta. )

Até onde eu sei, tanto e podem sofrer um cancelamento catastrófico se forem quase paralelos / perpendiculares - o atan2 não poderá fornecer boa precisão se uma das entradas estiver desativada. $\|\mathbf{v}_1\times \mathbf{v}_2\|$ $\mathbf{v}_1\cdot \mathbf{v}_2$

Comece reformulando o problema ao encontrar o ângulo de um triângulo com comprimentos laterais,e(todos são calculados com precisão na aritmética de ponto flutuante). Há uma variante bem conhecida de fórmula de Heron devido a Kahan ( Área miscalculating e ângulos de uma forma de agulha do triângulo ), que permite calcular a área e o ângulo (entre e ) de um triângulo especificado pelos seus comprimentos laterais, e faça isso numericamente de maneira estável. Como a redução desse subproblema também é precisa, essa abordagem deve funcionar com entradas arbitrárias. $a=|\mathbf{v}_1|$ $b=|\mathbf{v}_2|$ $c=|\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2|$ $a$ $b$

Citando esse artigo (consulte a p.3), assumindo , Todos os parênteses aqui são colocados com cuidado e são importantes; se você encontrar a raiz quadrada de um número negativo, os comprimentos dos lados de entrada não serão os comprimentos laterais de um triângulo. $a\geq b$

μ = {\begin{cases} c - (a - b), & if b \geq c \geq 0, \\ b - (a - c), & if c > b \geq 0, \\ invalid triangle, & otherwise \end{cases}

$\mu = \begin{cases} c-(a-b),&\text{if }b\geq c\geq 0,\\ b-(a-c),&\text{if }c>b\geq 0,\\ \text{invalid triangle},&\text{otherwise} \end{cases}$

a n g l e = 2 \arctan (\sqrt{\frac{((a - b) + c) μ}{(a + (b + c)) ((a - c) + b)}})

$\mathrm{angle} = 2\arctan\left( \sqrt{\frac{((a-b)+c)\mu}{(a+(b+c))((a-c)+b)}} \right)$

Há uma explicação de como isso funciona, incluindo exemplos de valores para os quais outras fórmulas falham, no artigo de Kahan. Sua primeira fórmula para é na página 4. $\alpha$ $C''$

A principal razão pela qual sugiro a fórmula de Kahan Heron é porque ela é uma primitiva muito boa - muitas questões de geometria planar potencialmente complicadas podem ser reduzidas para encontrar a área / ângulo de um triângulo arbitrário; portanto, se você pode reduzir seu problema a isso, existe uma boa fórmula estável para isso, e não há necessidade de criar algo por conta própria.

Editar Após o comentário de Stefano, fiz um gráfico de erro relativo para , ( código ). As duas linhas são os erros relativos de e , ao longo do eixo horizontal. Parece que funciona. $v_1=(1,0)$ $v_2=(\cos\theta, \sin\theta)$ $\theta=\epsilon$ $\theta=\pi/2-\epsilon$ $\epsilon$

— Kirill
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Obrigado pelo link e pela resposta! Infelizmente, a segunda fórmula que escrevi não aparece no artigo. Por outro lado, esse método pode ser um pouco complexo, pois requer projeção em 2D.

— Astrojuanlu 23/08/19

@astrojuanlu Não há projeção para 2d aqui: quaisquer que sejam os dois vetores 3d, eles definem um único triângulo (plano) entre eles - você só precisa saber os comprimentos laterais.

— 22917 Kirill

Você está certo, meu comentário não faz sentido. Eu estava pensando em coordenadas em vez de comprimentos. Obrigado novamente!

— Astrojuanlu

@astrojuanlu Mais uma coisa que quero observar: parece que há uma prova formal de que a fórmula da área é precisa em Como calcular a área de um triângulo: uma revisão formal , Sylvie Boldo , usando Flocq.

— 22917 Kirill

Excelente resposta, mas discuto que você sempre pode calcular com precisão na aritmética de ponto flutuante. De fato, se ocorrerão cancelamentos catastróficos na computação dos componentes de .

c

$c$

c < ϵ \cdot min (a, b)

$c < \epsilon \cdot \min(a,b)$

(v_{1} - v_{2})

$(\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2)$

— 23417 Stefano M

A resposta eficiente a esta pergunta está, não surpreendentemente, em outra nota de Velvel Kahan :

α = 2 \arctan (‖ \frac{v_{1}}{‖ v_{1} ‖} + \frac{v_{2}}{‖ v_{2} ‖} ‖, ‖ \frac{v_{1}}{‖ v_{1} ‖} - \frac{v_{2}}{‖ v_{2} ‖} ‖)

$\alpha=2\arctan\left(\left\|\frac{\mathbf v_1}{\|\mathbf v_1\|}+\frac{\mathbf v_2}{\|\mathbf v_2\|}\right\|,\left\|\frac{\mathbf v_1}{\|\mathbf v_1\|}-\frac{\mathbf v_2}{\|\mathbf v_2\|}\right\|\right)$

onde eu uso como o ângulo feito por com o eixo horizontal. (Talvez você precise inverter a ordem dos argumentos em alguns idiomas.) $\arctan(x,y)$ $(x,y)$

(Fiz uma demonstração do Mathematica da fórmula de Kahan aqui .)

— JM
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Você quer dizer ?

\arctan 2

$\arctan2$

— Astrojuanlu #

Estou acostumado a apenas descrever o arco de dois argumentos como , sim. Em um idioma como FORTRAN, o equivalente seria .

\arctan (x, y)

$\arctan(x,y)$ ATAN2(Y, X)

— JM