Transformação de coordenadas por diferenças finitas para coordenadas polares esféricas

Eu tenho parte de um problema descrito pela equação de conservação do momento:

$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta}(\rho u \sin \theta) =0$

Onde e ρ = f ( θ , t ) (velocidade constante).$u=f(\theta)$$\rho = f(\theta,t)$

Ingenuamente, pode-se aplicar uma das soluções listadas aqui . O problema em questão é melhor descrito em coordenadas polares esféricas (casca esférica fina) e nessas soluções em cartesiano. devo fazer algum tipo de transformação de coordenadas antes de discretizar essa equação ou posso discretizá-la diretamente?

Em segundo lugar, existe alguma razão para primeiro expandirmos a derivada em $\theta$ e depois tentarmos discretizar?

Como observação - eu fiz várias das opções acima e obtive soluções que não parecem consistentes (fisicamente, algumas parecem fazer sentido). Estou interessado em saber se há uma transformação de coordenadas adequada que deve ser feita ou se algum dos métodos mencionados anteriormente será suficiente.

EDITAR:

Eu defino fluxo como:

$\Phi_{i+1/2} = \dfrac{u_{i+1/2}+|u_{i+1/2}|}{2}\rho_{i} \sin{\theta_{i}} + \dfrac{u_{i+1/2}-|u_{i+1/2}|}{2}\rho_{i+1} \sin{\theta_{i+1}}$

$\Phi_{i-1/2} = \dfrac{u_{i-1/2}+|u_{i-1/2}|}{2}\rho_{i-1} \sin{\theta_{i-1}} + \dfrac{u_{i-1/2}-|u_{i-1/2}|}{2}\rho_{i} \sin{\theta_{i}}$

$\sin{\theta}$$\pm\frac{1}{2}$

$\theta = 0$

$\Phi$

$\theta$$u$$\rho$