Recuperando numericamente parte imaginária da continuação analítica da parte real

Minha situação.

Eu tenho uma função de uma variável complexa definida através de uma integral complicada. O que me interessa é o valor dessa função no eixo imaginário. Eu tenho acesso numérico a esta função na seguinte faixa de : . Formalmente, a expressão integral é divergente fora desse domínio e, portanto, preciso de uma continuação analítica. Para resumir minha situação em uma imagem, $f(z)$ $z=(x,y)\in (-\infty,\infty)\times[-1,1]$

Aqui está o que eu sei sobre nesta faixa de opções numéricos: $f(z)$

É simultaneamente simétrico em relação aos eixos imaginários e reais.
Decai para zero em . $Re(z)\rightarrow\infty$
Explode perto de . Poderia ser um poste ou um ponto de ramificação, não sei. Suspeito que a natureza dessa singularidade (e possivelmente todas as outras singularidades isoladas da continuação analítica) dependa da parametrização específica dessa função (consulte a íntegra abaixo para obter detalhes) $z=\pm i$ $\xi$

De fato, parece muito semelhante a um ou quando plotado. Aqui está um gráfico da parte real: $\text{sech}^2(z)$ $1/(1+z^2)^{2n}$

Minha pergunta é, dada a enorme quantidade de informações que tenho sobre a função (acesso numérico total a ela nessa faixa de opções), existe alguma maneira de calcular numericamente uma aproximação a essa função ao longo do eixo imaginário? Estou usando o Mathematica por sinal.

O motivo pelo qual estou interessado nos valores ao longo do eixo imaginário é porque preciso avaliar a seguinte transformação de Fourier dessa função:

\begin{matrix} (1) & \bar{f} (t) = \int_{- \infty}^{\infty} d x e^{i t x} \frac{1}{x^{2} + x_{0}^{2}} f (x) \end{matrix}

$\bar{f}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} dx\, e^{itx}\frac{1}{x^2+x^2_0} f(x) \tag{1}$

para grandes valores de , que no meu caso estão na ordem de . Embora eu conheça bem o integrando, essa transformação de Fourier é tremendamente oscilatória; portanto, a única outra maneira de saber como calcular isso é através de uma integração do Contour. $t$ $10$

O que eu tentei.

Na verdade, tentei calcular a integral máxima altamente oscilatória, eq. (1) Avaliando a eq. (1) para um valor único de 't' leva algumas horas para calcular. Já realizei algumas dessas integrais e os resultados realmente fazem sentido, mas eu gostaria de uma abordagem alternativa.
Tentei continuar analiticamente com as aproximações de Pade, mas isso também é computacionalmente caro, mas não tanto quanto a avaliação direta. Mais importante, eu não consegui estabelecer convergência com a ordem crescente das aproximações (nem a média de suas somas parciais!), O que contrasta com o modo como meus testes com funções simples como foram (eu poderia facilmente obter muito rápido convergência em amplas faixas do complexo plano com funções de teste simples). $\text{sech}^2(z)$ $z$
Eu tentei a integração simbólica sem sucesso. Eu tentei massagear o integrando em uma forma mais digerível para o Mathematica, mas minhas tentativas não foram bem-sucedidas.

A integral ofensiva.

Seja , , e sejam números reais positivos enquanto é o número complexo em que estamos interessados (desempenha o papel de na discussão anterior). Definir: $k_4$ $k_{\perp}$ $\xi$ $\alpha$ $E$ $z$

\begin{aligned} p_{1}^{2} & = {(k_{4} + \frac{1}{2} E)}^{2} + k_{⊥}^{2} + α^{2} \\ p_{2}^{2} & = {(k_{4} - \frac{1}{2} E)}^{2} + k_{⊥}^{2} + (1 - α)^{2} \end{aligned}

$\begin{align} p_1^2&=\left(k_4+\frac{1}{2}E\right)^2+k_{\perp}^2+\alpha^2\\ p_2^2&=\left(k_4-\frac{1}{2}E\right)^2+k_{\perp}^2+(1-\alpha)^2 \end{align}$

A integral que me interessa é a seguinte:

\begin{aligned} f (E; α, ξ) & = \int_{- \infty}^{\infty} d k_{4} \int_{0}^{\infty} d (k_{⊥}^{2}) [\frac{α (1 + p_{1}^{2})^{3 ξ / 2} (1 + p_{2}^{2})^{ξ / 2}}{(1 + p_{1}^{2} (1 + p_{1}^{2})^{2 ξ}) (1 + p_{2}^{2} (1 + p_{2}^{2})^{2 ξ})} + + (p_{1} \leftrightarrow p_{2})] \end{aligned}

$\begin{align} f(E;\,\alpha,\xi)&=\int_{-\infty}^{\infty} dk_4 \int_{0}^{\infty} d(k_{\perp}^2)\left[\frac{\alpha (1+p_1^2)^{3\xi/2}(1+p_2^2)^{\xi/2}}{(1+p_1^2(1+p_1^2)^{2\xi})(1+p_2^2(1+p_2^2)^{2\xi})}+\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+(p_1\leftrightarrow p_2)\right] \end{align}$

$\xi=1,2,3$ $0<\alpha<1$ $t~10$

integration mathematica complex-analysis

— Arturo don Juan
fonte

R + 0.99 i

$\mathbb{R}+0.99\mathrm{i}$

\bar{f}

$\bar f$

f

$f$

f

$f$

\bar{f}

$\bar f$

\bar{f}

$\bar{f}$

\bar{f}

$\bar{f}$

α \in [- 1, 2]

$\alpha\in [-1,2]$

0.1

$0.1$

Eu escrevi, mas descobri um problema com meu código, então não tenho mais certeza se o que eu calculei é válido. Você tem valores de referência válidos conhecidos?

— Kirill

Nota: Estou um pouco preocupado neste momento em que os valores integrais que o Mathematica me fornece são falsos. Eu pensei que estava funcionando porque deu um resultado sensato em pouco tempo, mas pode ser que o método que ele tenta usar seja de buggy ou que eu fiz algo errado. Portanto, pode ser que o código abaixo não esteja funcionando, não sei, desculpe.

Nota 2: Isso me incomodou, então escrevi outra versão ( código aqui , desculpe pela qualidade do código) usando Julia e GSL, e avalia gem 2 segundos a mesma resposta que o Mathematica dá abaixo. Então eu acho que o código provavelmente está bom.

$f$ $\bar f$ decadência polinomialmente e rapidamente, e isso é exatamente o tipo de coisa que as rotinas de quadratura convencionais são projetados para lidar bem. Também não há singularidades complicadas.

Minha experiência no passado com integração numérica me leva a acreditar que os métodos matemáticos mais sofisticados às vezes podem ser espetacularmente úteis, mas também que avaliar transformações numéricas de Fourier e integrar funções racionais e algébricas são a base dos algoritmos de integração numérica, portanto é possível faça um progresso fácil escolhendo algoritmos com cuidado e jogando com seus parâmetros. Geralmente, essa é a opção mais fácil se for difícil ver como fazer a técnica matemática funcionar corretamente.

ClearAll[ξ, α, p1, p2, fi, f, g];
ξ = 1;
α = 1/2;
fi[e_, k4_, kp_] := Module[{
   p1 = (k4^2 + e/2)^2 + kp^2 + α^2,
   p2 = (k4^2 - e/2)^2 + kp^2 + (1 - α)^2},
  2 * (* because integrate k4 over (0,∞) *)
   2 kp * (* because d(kp^2) *)
   (α (1 + p1)^(3 ξ/2) (1 + p2)^(ξ/2)) /
     ((1 + p1 (1 + p1)^(2 ξ)) (1 + p2 (1 + p2)^(2 ξ)))
  ]
f[e_?NumericQ] := NIntegrate[
   fi[e, k4, kp], {k4, 0, ∞}, {kp, 0, ∞},
   Method -> {Automatic, "SymbolicProcessing" -> 0}];

(* !!! This gives a bogus result: *)
gBogus[t_?NumericQ, e0_?NumericQ] := 
 NIntegrate[
  Exp[I t e]/(e^2 + e0^2) f[e], {e, -∞, ∞}, 
  Method -> {"DoubleExponentialOscillatory", 
    "SymbolicProcessing" -> 0}]

(* This gives *a* result, different from above despite being equivalent *)
g[t_?NumericQ, e0_?NumericQ] := 
 NIntegrate[Exp[I t e]/(e^2 + e0^2) f[e], {e, -\[Infinity], 0}, 
   Method -> {"DoubleExponentialOscillatory", 
     "SymbolicProcessing" -> 0},
   EvaluationMonitor :> Print["e=", e]] +
  NIntegrate[Exp[I t e]/(e^2 + e0^2) f[e], {e, 0, \[Infinity]}, 
   Method -> {"DoubleExponentialOscillatory", 
     "SymbolicProcessing" -> 0},
   EvaluationMonitor :> Print["e=", e]]

Resultado:

In[18]:= Timing@g[10,1]
Out[18]= {78.0828, 0.0000704303 + 9.78009*10^-6 I}

In[338]:= Timing@g[1,1]
Out[338]= {14.3125,0.389542 +0.024758 I}

Eu fiz o Mathematica gastar tempo zero no pré-processamento simbólico dos integrandos, porque, nesse caso, ele não teria conseguido descobrir nada útil sobre ele. Eu também disse para usar especificamente um método de quadratura oscilatória para a segunda integral.

Meu palpite por que mexer aleatoriamente com estratégias de integração (ver NIntegrateIntegrationStrategies ) trabalha em tudo é que às vezes Mathematica pode acidentalmente pegar uma má estratégia automaticamente, matando desempenho, ao passo que qualquer coisa que eu pedi-lo a fazer é, pelo menos, um pouco mesmo significado se abaixo do ideal. Você também pode obter ajuda em /mathematica/ , pois eles podem saber mais sobre os internos do Mathematica por lá.

— Kirill
fonte

k_{4}

$k_4$

- \infty

$-\infty$

\infty

$\infty$

0

$0$

\infty

$\infty$ g[t,e0]

f

$f$

E

$E$

p_{1}

$p_1$

p_{2}

$p_2$

E \leftrightarrow - E

$E\leftrightarrow -E$

k_{4}

$k_4$

2 \times

$2\times$

(0, \infty)

$(0,\infty)$

p_{1} \leftrightarrow p_{2}

$p_1\leftrightarrow p_2$

E

$E$

p_{1, 2}

$p_{1,2}$

k_{4}

$k_4$

@ArturodonJuan Eu acho que não faz nenhuma diferença real como a resposta funciona, apenas os números mudariam.

— Kirill