Estabilidade numérica de polinômios Zernike de ordem superior

Estou tentando calcular momentos Zernike de ordem superior (por exemplo m=0, n=46) para alguma imagem. No entanto, estou com um problema em relação ao polinômio radial (consulte a Wikipedia ). Este é um polinômio definido no intervalo [0 1]. Veja o código MATLAB abaixo

function R = radial_polynomial(m,n,RHO)
    R = 0;
    for k = 0:((n-m)/2)        
        R = R + (-1).^k.*factorial(n-k) ...
            ./ ( factorial(k).*factorial((n+m)./2-k) .* factorial((n-m)./2-k) ) ...
            .*RHO.^(n-2.*k);
    end
end

No entanto, isso obviamente tem problemas numéricos próximos RHO > 0.9.

Eu tentei refatorá-lo para polyval pensar que poderia ter alguns algoritmos melhores nos bastidores, mas isso não resolveu nada. Convertê-lo em um cálculo simbólico criou o gráfico desejado, mas foi incrivelmente lento mesmo para um gráfico simples como o mostrado.

Existe uma maneira numericamente estável de avaliar esses polinômios de alta ordem?

matlab polynomials numerical-limitations

— Sanchises
fonte

Muitas vezes, é melhor usar polinômios ortogonais, aqui polinômios de Jacobi . Você já experimentou mathworks.com/help/symbolic/jacobip.html e a relação

R_{n}^{m} (r) = (- 1)^{(n - m) / 2} r^{m} P_{(n - m) / 2}^{(m, 0)} (1 - 2 r^{2}) ?

$R_n^{\,m}(r) = (-1)^{(n-m)/2}\,r^m\,P_{(n-m)/2}^{\,(m,0)}(1-2r^2)?$

— gammatester

@gammatester Isso funciona! Você poderia elaborar uma resposta sobre por que esse seria o caso?

— Sanchises

Bom ouvir que funciona. Infelizmente, não posso dar uma resposta decicada por dois motivos. Primeiro: embora seja comumente conhecido que os polinômios ortogonais têm melhores propriedades de estabilidade do que a forma padrão, não conheço uma prova formal (especialmente neste caso). Segundo, não uso o Matlab e não posso fornecer dados para os polinômios Jacobi implementados.

— gammatester

@ Sanchises Não há almoço grátis aqui: apenas porque algo é um polinômio, não significa que a fórmula direta em termos de poderes seja a maneira certa de computá-lo, e computar com precisão os polinômios de Jacobi não é uma questão trivial - você não faz através dos coeficientes, por isso não é tão barato.

— 22418 Kirill #

O motivo pelo qual ele trabalha para usar os polinômios Jacobi é que você se livra do cancelamento catastrófico em sua fórmula (observe todos os fatores oscilantes com coeficientes muito grandes!) E o procedimento padrão de avaliação polinomial Jacobi é implementado com cuidado em uma biblioteca, garantindo assim Para ser exato. A maior parte do trabalho aqui é feita para garantir que os polinômios de Jacobi sejam avaliados com precisão.

— Kirill

Respostas:

R_{n}^{m} (ρ) = ρ (R_{n - 1}^{| m - 1 |} (ρ) + R_{n - 1}^{m + 1} (ρ)) - R_{n - 2}^{m} (ρ)

$R^m_n(\rho) = \rho \left(R^{|m-1|}_{n-1}(\rho)+R^{m+1}_{n-1}(\rho)\right) - R^{m}_{n-2}(\rho)$

Isso é implementado no seguinte script do Octave:

clear                                     % Tested with Octave instead of Matlab
N = 120;
n_r = 1000;
R = cell(N+1,N+1);
rho = [0:n_r]/n_r;
rho_x_2 = 2*[0:n_r]/n_r;

R{0+1,0+1} = ones(1,n_r+1);               % R^0_0  Unfortunately zero based cell indexing is not possible
R{1+1,1+1} = R{0+1,0+1}.*rho;             % R^1_1  ==>  R{...+1,...+1} etc.
for n = 2:N,
    if bitget(n,1) == 0,                  % n is even
        R{0+1,n+1} = -R{0+1,n-2+1}+rho_x_2.*R{1+1,n-1+1};                % R^0_n
        m_lo = 2;
        m_hi = n-2;
    else
        m_lo = 1;
        m_hi = n-1;
    end
    for m = m_lo:2:m_hi,
        R{m+1,n+1} = rho.*(R{m-1+1,n-1+1}+R{m+1+1,n-1+1})-R{m+1,n-2+1};  % R^m_n
    end
    R{n+1,n+1} = rho.*R{n-1+1,n-1+1};                                    % R^n_n
end;


Z = @(m,n,rho) (-1)^((n-m)/2) * rho.^m .* jacobiPD((n-m)/2,m,0,1-2*rho.^2);
m = 22;
n = 112;
figure
plot(rho,Z(m,n,rho))
hold on
plot(rho,R{m+1,n+1},'r');
xlabel("rho")
ylabel("R^{22}_{112}(rho)")
legend("via Jacobi","recursive");
%print -djpg plt.jpg

m = 0;
n = 46;
max_diff_m_0_n_46 = norm(Z(m,n,rho)-R{m+1,n+1},inf)

$m = 22$ $n = 112$ $\rho = 0.7$

$m = 0$ $n = 46$ 1.4e-10

— wim
fonte

Seu enredo parece um bug no Matlab jacobiPD, não como qualquer cancelamento catastrófico genérico.

— 21918 Kirill

JacobiPD

n = 30

$n=30$

m

$m$

ρ

$\rho$ 6.9e-13JacobiPDfactorial(n+a) * factorial(n+b)

m = 22

$m=22$

n = 112

$n=112$

1/(factorial(s)*factorial(n+a-s)*factorial(b+s)*factorial(n-s)) *              ((x-1)/2).^(n-s).*((x+1)/2).^s * factorial(n+a) * factorial(n+b)

1.4e18-2.1

@ wim Eu não percebi que não é do Matlab. Se a implementação polinomial de Jacobi de alguém é boa o suficiente para sua finalidade, isso não é problema. Eu apenas disse que é um bug porque não entendi e pensei que fosse uma função interna (espero que as funções da biblioteca sejam muito sólidas). Por "genérico", quis dizer que, se você não sabe como a função é implementada, não pode chamar saídas incorretas de "cancelamento catastrófico" como um termo genérico para todos os tipos de erros, mas esse foi apenas o meu mal-entendido sobre o que o código estava fazendo.

— 21918 Kirill

Para ser claro: meu código não é recursivo. É a relação de recorrência iterativa padrão de três termos (semelhante aos polinômios de Chebyshev) que deve ser normalmente mais estável do que, por exemplo, a forma Horner para polinômios.

— gammatester

Uma solução possível (sugerida por @gammatester) é usar polinômios de Jacobi. Isso contorna o problema do cancelamento catastrófico ao adicionar grandes coeficientes polinomiais por avaliação polinomial "ingênua".

O polinômio radial de Zernike pode ser expresso pelos polinômios de Jacobi da seguinte forma (consulte a equação (6) )

R_{n}^{m} (ρ) = (- 1)^{(n - m) / 2} ρ^{m} \cdot P_{(n - m) / 2}^{(m, 0)} (1 - 2 ρ^{2})

$R^m_n(\rho) = (-1)^{(n-m)/2}\rho^m \cdot P^{(m,0)}_{(n-m)/2} \Big(1-2\rho^2 \Big)$

No entanto, no MATLAB, o uso de jacobiP(n,a,b,x)é inaceitavelmente lento para vetores / matrizes grandes de x=rho. A jacobiPfunção é realmente parte da Symbolic Toolbox e a avaliação do polinômio é adiada para o mecanismo simbólico, que troca a velocidade por precisão arbitrária. Uma implementação manual dos polinômios de Jacobi é, portanto, necessária.

$\alpha=m$ $\beta=0$ $n^*=(n-m/2)$ $s$

\begin{matrix} P_{n}^{(α, β)} (ρ) = (n + α)! (n + β)! \cdot \\ \sum_{s = 0 0}^{n} [\frac{1 1}{s! (n + α - s)! (β + s)! (n - s)!} {(\frac{x - 1 1}{2})}^{n - s} {(\frac{x + 1 1}{2})}^{s}] \end{matrix}

$\begin{multline} P_n^{(\alpha,\beta)}(\rho) = (n+\alpha)!(n+\beta)! \quad \cdot\\ \sum_{s={0}}^n \left[\frac{1}{s!(n+\alpha-s)!(\beta+s)!(n-s)!} \left(\frac{x-1}{2}\right)^{n-s}\left(\frac{x+1}{2}\right)^{s} \right]\end{multline}$

No MATLAB, isto traduz-se (Jacobi ~~p polícia prosseguiu d EPARTAMENTO~~ P olynomial, ' D ouble' implementação)

function P = jacobiPD(n,a,b,x)
    P = 0;
    for  s  0:n
        P = P + ...
            1/(factorial(s)*factorial(n+a-s)*factorial(b+s)*factorial(n-s)) * ...
            ((x-1)/2).^(n-s).*((x+1)/2).^s;
    end
    P = P*factorial(n+a) * factorial(n+b);
end

O polinômio radial de Zernike real é assim (para m=abs(m))

Z = @(m,n,rho) (-1)^((n-m)/2) * rho.^m .* jacobiPD((n-m)/2,m,0,1-2*rho.^2);

Nota: essa resposta automática é apenas uma solução prática; fique à vontade para marcar outra resposta que explique por que isso funciona.

— Sanchises
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