Solução iterativa para uma equação não linear

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Peço desculpas antecipadamente se esta pergunta é boba. Eu preciso calcular a raiz de

você - f (você) = 0 0

$\begin{equation} u -f(u) =0 \end{equation}$

Onde é um vetor real é uma função com valor vetorial real. Comecei com o método de Newton (que funcionava), mas depois percebi que um método muito mais simples seria uma solução iterativa $u$ $f(u)$

{você}_{Eu + 1} = f ({você}_{Eu})

$\begin{equation} u_{i+1} = f(u_{i}) \end{equation}$

Isso é muito mais rápido e aparentemente tão preciso / estável quanto o método de Newton.

Agora as perguntas:

Essa é a abordagem correta ou devo usar um método diferente?
Há algo que se possa dizer sobre sua taxa de convergência, estabilidade, acesso, etc?
É globalmente convergente?

Agradeço antecipadamente a todos pela atenção.

iterative-method nonlinear-equations roots

— Gabriel Landi
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3

Isso é conhecido como iteração de ponto fixo. Eu não sou bem versado sobre o assunto, mas, no mínimo, deve lhe dar algumas novas palavras para lançar no google. Se bem me lembro, pontos fixos aparecem para uma grande variedade de funções com uma grande variedade de pontos de partida.

— Godric Seer

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Qual é o seu

? O método de Newton é geralmente mais rápido que a iteração de ponto fixo.

f (u)

$f(u)$

— Bill Barth

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Sua convergência observada depende muito da forma funcional de

. Além disso, se

, a iteração

é a iteração de Newton em

.

f (\cdot)

$f(\cdot)$

f (u) = u - (\nabla g)^{- 1} g (u)

$f(u) = u - (\nabla g)^{-1} g(u)$

u_{i + 1} = f (u_{i})

$u_{i+1} = f(u_i)$

g (u) = 0

$g(u) = 0$

— perfil completo de Jed Brown

7

Se , onde é a solução, a iteração de ponto fixo de que você fala é localmente linearmente convergente com a taxa de convergência . Portanto, se é pequeno ou zero, o método é competitivo com o método de Newton. $q:=|f'(x^*)|<1$ $x^*$ $q$ $q$

Longe da solução, é difícil prever a convergência na ausência de informações globais (como uma constante de Lipschitz , que produz uma contração). $<1$

— Arnold Neumaier
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5

O fractal Feigenbaum é um bom exemplo de como a iteração do ponto de correção pode ser estranha:

http://en.wikipedia.org/wiki/Feigenbaum_fractal

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Logistic_Bifurcation_map_High_Resolution.png

O segundo link plota o comportamento da iteração do ponto de correção aplicado ao mapa logístico, pois um dos parâmetros varia. Para certos valores, converge, embora apenas linearmente. Para outros valores, converge para um ciclo de duração variável. Para outra classe de valores, ele se comporta completamente caoticamente.

Em outras palavras, o comportamento da iteração do ponto de correção depende inteiramente da função em questão. Mesmo funções que parecem semelhantes podem exibir um comportamento radialmente diferente.

Nota : Como Jed aponta, a iteração de Newton pode ser igualmente estranha .

— Geoffrey Irving
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Para ser justo, muitos fractais populares são os conjuntos de Julia da iteração de Newton em uma equação simples.

— perfil completo de Jed Brown

4

O teorema de ponto fixo de Banach descreve a situação padrão quando uma iteração de ponto fixo é globalmente convergente. Especialmente a parte exclusiva do teorema indica que você só pode esperar convergência local se a solução não for única.

$f^n=f\circ \ldots\circ f$ $f$

— Thomas Klimpel
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2

Você pode considerar útil esta referência: Uma homotopia para resolver problemas de pontos fixos grandes, esparsos e estruturados. R. Saigal. Matemáticas de Pesquisa Operacional, vol. 8, n ° 4 (novembro de 1983), pp. 557-578.

— Deer Hunter
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1

Este método está correto e é chamado de "Substituição Sucessiva". Por favor, consulte a página 189 desta referência para obter detalhes.

— Papiro
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