Dificuldade com o método espectral usando polinômios de Chebyshev

Estou com um pouco de dificuldade em tentar entender um artigo. O artigo usa o método espectral para resolver um autovalor proveniente de um sistema de ODEs acoplados. Escreverei apenas uma equação agora, porque é suficiente para chegar ao cerne da (s) minha (s) pergunta (s).

A equação é

$V[r] = \frac{e^{-(\nu[r] +\lambda[r])}}{\epsilon[r] + p[r]} *\biggr[ (\epsilon[r] + p[r])( e^{\nu[r] +\lambda[r]})r W[r] \biggr]'$

Eu executo o derivado e recebo

(Eq1) $V = \biggr[ \frac{\epsilon' +p'}{\epsilon + p} + r(\nu'+\lambda') +1 \biggr] W + r W'$

Agora, de acordo com o artigo, eu deveria ser capaz de expandir as quantidades de equilíbrio ) do sistema como polinômios de Chebyshev da forma $(\epsilon ,p ,\nu ,\lambda$

, ondesão os polinómios. Eu sei como obter ousando o código que eu escrevi em Mathematica. Também, e o domínio deé. $B[r] = \Sigma_{i=0}^{\infty}b_i T_i[y] - \frac{1}{2} b_0$ $T_i[y]$ $b_i$ $y = 2(r/R) -1$ $r$ $(0,R)$

O artigo também afirma que as funções ( ) podem ser expandidas como $V,W$ , e que, em geral, um termo comopode ser expresso como $F[r] = (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}f_i T_i[y] - \frac{1}{2} f_0$ $B[r]F[r]$

$B[r]F[r] = \frac{1}{2} (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty} \pi_i T_i[y] - \frac{1}{2} \pi _0$

onde e para e igual a 1 para . $\pi_i = \Sigma_{j=0}^{\infty}[b_{i+j} + \Theta(j-1)b_{|i-1|} ] f_l$ $\Theta(k) = 0$ $k<0$ $k\geq 0$

Com tudo isso dito, digamos que eu faça as seguintes funções de equilíbrio

e, torna-se então EQ1 $\frac{\epsilon' +p'}{\epsilon + p} = B_1[r]$ $r(\nu'+\lambda') = B_2[r]$

(Eq2) . $\bigg((\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}v_i T_i[y] - \frac{1}{2} v_0 \bigg) = \biggr[ B_1[r] + B_2[r] +1 \biggr] \biggr( (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}w_i T_i[y] - \frac{1}{2} w_0 \biggr) + r W'$

Question1: O que faço com o termos? Os polinômios são funções deentão como posso ter uma expansão como $(\frac{r}{R})^l$ $[y]$ Função X de [y]? Também parece que eu posso apenas dividi-los em cada lado da equação, então qual foi o ponto de introdução desse termo? Quero dizer, de acordo com o artigo, esse termo deve impor a condição de contorno de quevão a zero evai a zero. $B[r]= (\frac{r}{R})^l$ $V,W$ $r$

* Pergunta2: * Como eu devo lidar com o no termo . O artigo fornece uma descrição de como lidar com termos derivativos, mas e o próprio . Devo tratá-lo como um valor de equilíbrio e usar a regra para termos como ou devo expressar esse em termos de . Ou devo fazer outra coisa completamente? $r$ $r*W'$ $r$ $B[r]F[r]$ $r$ $y$

eigenvalues polynomials spectral-method

— tau1777
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Talvez você possa vincular ao artigo que está referenciando?

— Aron Ahmadia

Olá Aron, Aqui está o link arxiv.org/pdf/gr-qc/0210102.pdf As coisas numéricas com as quais estou tendo problemas são descritas no Apêndice A, e a equação que eu estava examinando acima é a equação (19). Obrigado.

— precisa saber é

Observe que

si é uma função (linear) de

y

$y$

(e, portanto, de

\frac{r}{R}

$\frac{r}{R}$

r

$r$

— Christian Clason

Não sei se é possível responder à pergunta sem uma leitura detalhada do artigo. Mas em relação à primeira pergunta, você tem . E esse fator não pode ser dividido, pois não multiplica todos os termos. $r/R = (y+1)/2$

Para a pergunta 2: como essa equação deve ser usada para aplicar a condição de contorno em , acho que o termo mencionado deve desaparecer. $r=0$

— David Ketcheson
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