Por que a solução numérica de uma EDO se afasta de um equilíbrio instável?

Desejo simular o comportamento de um sistema semelhante ao pêndulo duplo. O sistema é um manipulador de robôs de 2 graus de liberdade que não é acionado e, portanto, se comportará principalmente como um pêndulo duplo afetado pela gravidade. A única diferença principal com um pêndulo duplo é que ele é composto por dois corpos rígidos com propriedades de massa e inércia em seus centros de massa.

Basicamente, programei ode45no Matlab para resolver um sistema de ODEs do seguinte tipo:

$$\left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & M_{11} & 0 & M_{12}\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & M_{12} & 0 & M_{22} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{x}_1\\ \dot{x}_2\\ \dot{x}_3\\ \dot{x}_4 \end{array} \right]= \left[ \begin{array}{c} x_2\\ -V_1-G_1\\ x_4\\ -V_2-G_2 \end{array} \right]$$

onde é o ângulo do primeiro corpo em relação à horizontal, é a velocidade angular do primeiro corpo; é o ângulo do segundo corpo em relação ao primeiro corpo e é a velocidade angular do segundo corpo. Todos os coeficientes são especificados no código a seguir, nas funções e que eu criei.$x_1$$x_2$$x_3$$x_4$rhsfMass

clear all
opts= odeset('Mass',@fMass,'MStateDependence','strong','MassSingular','no','OutputFcn',@odeplot);
sol = ode45(@(t,x) rhs(t,x),[0 5],[pi/2 0 0 0],opts);

function F=rhs(t,x)
    m=[1 1];
    l=0.5;
    a=[0.25 0.25];
    g=9.81;
    c1=cos(x(1));
    s2=sin(x(3));
    c12=cos(x(1)+x(3));
    n1=m(2)*a(2)*l;
    V1=-n1*s2*x(4)^2-2*n1*s2*x(2)*x(4);
    V2=n1*s2*x(2)^2;
    G1=m(1)*a(1)*g*c1+m(2)*g*(l*c1+a(2)*c12);
    G2=m(2)*g*a(2)*c12;

    F(1)=x(2);
    F(2)=-V1-G1;
    F(3)=x(4);
    F(4)=-V2-G2;
    F=F';     
end

function M=fMass(t,x)
    m=[1 1];
    l=0.5;
    Izz=[0.11 0.11];
    a=[0.25 0.25];
    c2=cos(x(3));
    n1=m(2)*a(2)*l;
    M11=m(1)*a(1)^2+Izz(1)+m(2)*(a(2)^2+l^2)+2*n1*c2+Izz(2);
    M12=m(2)*a(2)^2+n1*c2+Izz(2);
    M22=m(2)*a(2)^2+Izz(2);
    M=[1 0 0 0;0 M11 0 M12;0 0 1 0;0 M12 0 M22];
end

Observe como eu defino a condição inicial de (ângulo do primeiro corpo em relação à horizontal) para que o sistema inicie na posição completamente vertical. Dessa forma, como apenas a gravidade está atuando, o resultado óbvio é que o sistema não deve se mover de nenhuma maneira a partir dessa posição.$x_1$

NOTA: em todos os gráficos abaixo, plotei as soluções e com relação ao tempo.$x_1$$x_3$

ODE45

Quando executo a simulação por 6 segundos ode45, obtenho a solução esperada sem problemas, o sistema permanece onde está e não se move:

No entanto, quando executo a simulação por 10 segundos, o sistema começa a se mover de maneira irracional:

ODE23

Em seguida, executei a simulação ode23para ver se o problema persistia. Acabo com o mesmo comportamento, só que desta vez a divergência começa 1 segundo depois:

ODE15s

Em seguida, executei a simulação ode15spara verificar se o problema persistia e não, o sistema parece estar estável mesmo durante 100 segundos:

Por outro lado, ode15sé apenas de primeira ordem e observe que existem apenas algumas etapas de integração. Por isso, executei outra simulação ode15sdurante 10 segundos, mas com um MaxSteptamanho de para aumentar a precisão e, infelizmente, isso leva ao mesmo resultado que com ambos e .$0.01$ode45ode23

Normalmente, o resultado óbvio dessas simulações seria que o sistema permanecesse em sua posição inicial, pois nada o perturba. Por que esta divergência está ocorrendo? Tem algo a ver com o fato de que esse tipo de sistema é de natureza caótica? Esse é um comportamento normal para odefunções no Matlab?

Eu acho que os dois pontos principais já foram apresentados por Brian e Ertxiem: seu valor inicial é um equilíbrio instável e o fato de suas computações numéricas nunca serem realmente exatas fornece a pequena perturbação que fará com que a instabilidade entre em ação.

Para dar um pouco mais de detalhes de como isso ocorre, considere seu problema na forma de um problema geral de valor inicial

$$\begin{equation} \dot{\mathbf{y}}(t) = \mathbf{M}^{-1} \mathbf{f}(t, \mathbf{y}(t)) \end{equation}$$ $\mathbf{y}(t) = (x_1(t), x_2(t), x_3(t), x_4(t))$

$$\begin{equation} \mathbf{f}(t, \mathbf{y}(t)) = \begin{bmatrix} x_2 \\ -V_1 - G_1 \\ x_4 \\ -V_2 - G_2 \end{bmatrix} \end{equation}$$

$\mathbf{f}(0, \mathbf{y}_0) = 0$$\dot{\mathbf{y}}(0) = 0$$\tilde{\mathbf{f}}$

No seu código, você pode testar isso computando

norm(rhs(0,[pi/2 0 0 0]))

o que dá 6.191e-16 - quase, mas não exatamente zero. Como isso afeta a dinâmica do seu sistema?

$\mathbf{f}$$\mathbf{y}_0$$\tilde{\mathbf{y}}_0$

Além disso, em pouco tempo, a solução para o seu sistema se parece com a solução do sistema linearizado

$$\begin{equation} \dot{\mathbf{y}}(t) = \mathbf{f}(0, \mathbf{y}_0) + \mathbf{f}'(0, \mathbf{y}_0) \left( \mathbf{y}(t) - \mathbf{y}_0 \right) = \mathbf{f}'(0, \mathbf{y}_0) \left( \mathbf{y}(t) - \mathbf{y}_0 \right) \end{equation}$$

$\mathbf{f}'$$\mathbf{f}$rhs$\mathbf{y}_0$$\mathbf{d}(t) := \mathbf{y}(t) - \mathbf{y}_0$$\mathbf{d}$

$$\begin{equation} \dot{\mathbf{d}}(t) = \mathbf{f}'(0, \mathbf{y}_0) \mathbf{d}(t). \end{equation}$$

Como não me incomodava em calcular o jacobiano manualmente, usei a diferenciação automática para obter uma boa aproximação:

$$\begin{equation} \mathbf{J} := \mathbf{f}'(0, \mathbf{y}_0) = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 9.81 & 0 & 2.4525 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 2.4525 & 0 & 2.4525 & 0 \end{bmatrix} \end{equation}$$

para que sua equação se torne

$$\begin{equation} \dot{\mathbf{d}}(t) = \mathbf{J} \mathbf{d}(t), \mathbf{d}(0) = \mathbf{\tilde{y}}_0 - \mathbf{y}_0 \end{equation}$$

Agora precisamos de um passo final: podemos calcular uma decomposição de autovalor do jacobiano de modo que

$$\begin{equation} \mathbf{J} = \mathbf{Q} \mathbf{D} \mathbf{Q}^{-1} \end{equation}$$

$\mathbf{D}$$\mathbf{J}$$\mathbf{Q}$$\mathbf{d}$$\mathbf{e}(t) := \mathbf{Q}^{-1} \mathbf{d}(t)$

$$\begin{equation} \dot{\mathbf{e}}(t) = \mathbf{D} \mathbf{e}(t), \mathbf{e}(0) = \mathbf{Q}^{-1} \mathbf{d}_0. \end{equation}$$

$\mathbf{D}$

$$\begin{equation} \dot{e}_i(t) = \lambda_i e_i(t), e_i(0) = i-\textrm{th component of}~\mathbf{Q}^{-1} \mathbf{d}_0 \end{equation}$$

$i=1,2,3,4$$\lambda_1 = 3.2485$

$$\begin{equation} e_1(t) = e_1(0) e^{3.2485 t}. \end{equation}$$

$\mathbf{d}(0) = 0$$\mathbf{e}(0) = \mathbf{Q}^{-1} \mathbf{d}(0) = 0$$e_1(0) = 0$$e_1(0)$

$\pi/2$$\pi/2$

Veja os componentes das forças calculadas em suas funções.

$\pi$

$10^{-16}$

$a = 1.0$$a = a + 10^{-16}$

A suposição inicial era de que a posição inicial estava em equilíbrio estável (isto é, no mínimo da energia potencial) com energia cinética zero e o sistema começou a se afastar do equilíbrio.
Como fisicamente isso não pode acontecer (se considerarmos a mecânica clássica), duas coisas vieram à minha mente:

1. $\pi/2$$-\pi/2$

2. A segunda é que talvez haja algo errado com as equações de movimento (talvez um erro de digitação em algum lugar?). Você pode escrever as equações explicitamente? Talvez você possa plotar a aceleração angular em função da posição inicial de cada pêndulo, assumindo velocidade angular zero para verificar se há algo estranho.

Você deve procurar mais sobre pêndulos duplos: eles são o que chamamos de "sistemas caóticos". Embora se comportem seguindo regras simples, a partir de condições iniciais ligeiramente diferentes, as soluções divergem rapidamente. Fazer simulações numéricas para esse tipo de sistema não é fácil. Dê uma olhada no vídeo a seguir para obter mais informações sobre o problema.

Para o pêndulo simples ou duplo, você pode escrever uma fórmula para a energia total do sistema. Assumindo que as forças de atrito são negligenciadas, essa energia total é preservada pelo sistema analítico. Numericamente, essa é uma questão totalmente diferente.

Antes de tentar o pêndulo duplo, tente o pêndulo simples. Você notará que, para os métodos de Runge-Kutta de pequena ordem, a energia do sistema aumentará nas simulações numéricas, em vez de permanecer constante (é o que acontece nas suas simulações: você obtém movimento do nada). Para evitar isso, métodos RK de ordem superior podem ser usados ​​(ode45 é da ordem 4; RK da ordem 8 funcionaria melhor). Existem outros métodos chamados "métodos simpléticos" que são projetados de modo que as simulações numéricas conservem a energia. Em geral, você deve interromper a simulação assim que a energia aumentar significativamente em comparação com a sua inicialização.

E tente entender o pêndulo simples antes de ir para o duplo.