Existe uma abordagem geral para criar métodos de projeção para diferentes problemas?

Minha pergunta provavelmente será muito geral para responder com algumas palavras. Você poderia sugerir uma boa leitura nesse caso. Os métodos de projeção são usados ​​para reduzir o tamanho do espaço da solução para os problemas. E há pelo menos duas aplicações muito interessantes (do meu ponto de vista). O primeiro é a solução de problemas de mecânica contínua (elemento finito, métodos de Ritz) e o segundo é a solução de sistemas de equações lineares (métodos do subespaço de Krylov).

A questão é a seguinte: Existe uma teoria ou parte da análise que estuda os métodos de projeção em todas as suas aplicações? Nesse caso, outros métodos, como os métodos de volume finito, podem ser construídos a partir deste ponto de partida?

Estudei FEA na universidade, mas, no momento, todas as aproximações discretas são como um conjunto de "ferramentas" isoladas que posso usar em um caso específico. Obrigado.

A abordagem de Galerkin (buscando uma aproximação de um dado subespaço modo que o resíduo seja ortogonal a outro dado subespaço V ) é realmente muito geral (e não restrita a espaços de dimensão finita). No contexto da solução numérica de equações diferenciais parciais, existem essencialmente duas condições que U e V devem satisfazer:$U$$V$$U$$V$

1. O problema discreto deve ter uma solução única; isso geralmente exige a verificação das chamadas inf-sup-conditions . (No método padrão de Ritz-Galerkin, esse é basicamente o teorema de Lax-Milgram ; para sistemas lineares , isso equivale a dim U = dim V e que nenhum vetor em V é A- horizontal para U ).$Ax=b$$\dim U = \dim V$$V$$A$$U$

2. O erro de discretização deve se tornar menor à medida que a dimensão de e V aumenta. Isso requer certas propriedades de aproximação para os subespaços. Geralmente, toma-se espaços de polinômios por partes (como no método padrão de elementos finitos), mas outras opções são possíveis (por exemplo, métodos espectrais). (Da mesma forma, os métodos de projeção para sistemas lineares geralmente são baseados nos espaços de Krylov, pois possuem boas propriedades de aproximação.)$U$$V$

De fato, (alguns) métodos de volume finito podem ser descritos como métodos descontínuos de Galerkin (em que e / ou V consistem em funções constantes por partes.$U$$V$

A maioria dos livros matemáticos modernos sobre métodos de elementos finitos segue essa abordagem. Dois bons exemplos são

• Brenner, Scott: A teoria matemática dos métodos de elementos finitos
• Ern, Guermond: Teoria e Prática de Elementos Finitos

(Eu particularmente gosto do último, pois adota uma abordagem muito geral dos métodos de Galerkin, incluindo elementos finitos mistos e híbridos e métodos descontínuos de Galerkin.)

Para sistemas lineares, uma boa discussão geral da abordagem de projeção é apresentada no livro de Saad .

Para a solução de equações diferenciais, pode ser útil pensar em termos de O método dos resíduos ponderados (MWR), cunhado por Crandall (1956) e descrito em uma primeira revisão de Finnlayson e Scriven (1966) como

"O método de resíduos ponderados unifica muitos métodos aproximados de solução de equações diferenciais que estão sendo usadas atualmente."

e

"O método de resíduos ponderados é a ferramenta de um engenheiro para encontrar soluções aproximadas para as equações de mudança de sistemas distribuídos".

Em resumo, o método MWR unifica de maneira sistemática vários métodos comuns de discretização.

É isso que você estava pensando?

Para a solução de sistemas de equações lineares, vejo os métodos do subespaço de Krylov como uma abordagem geral para construir métodos de projeção. A parte mais específica do problema desses métodos é a escolha do pré-condicionador para a aceleração da convergência - e geralmente é o problema específico de como fazer essa escolha.