Como as modificações de classificação baixa afetam a convergência do método de Krylov?

Digamos que eu tenha um sistema linear $A x = b$ , que converja rapidamente usando um método Krylov adequado (como CG ou GMRES) para todos os $b$ . Se $B$ é uma matriz com baixo grau $r$ , será o mesmo método de Krylov no sistema $(A + B) x = b$ também convergirá rapidamente (idealmente com um número extra de iterações que aproximadamente depende apenas de )?$r$

Um exemplo de tal sistema seria a elasticidade da membrana e condições de dobra bem pré-condicionadas, além de termos de pressão de ar não pré-condicionados com estrutura densa do produto externo.

Observe que a pergunta é a mesma com ou sem pré-condicionamento, uma vez que é uma modificação na classificação do .r P A $P(A + B)Q = PAQ + PBQ$$r$$PAQ$

Se o seu subespaço Krylov for baseado nas potências de , a convergência será atrasada por várias iterações, no máximo, na classificação da correção. Se for baseado nos poderes de A T$A$$A^TA$ , em seguida, no máximo duas vezes este número.

Eu não vi essa afirmação na literatura. Mas, para ver a validade no primeiro caso, é suficiente mostrar que o o espaço Krylov da matriz A + U S V T onde U , V tem r colunas está contido no espaço correspondente sem correções de baixa classificação, mas com uma índice correspondentemente mais alto k + r . Isso é fácil de verificar.$k$$A+USV^T$$U,V$$r$$k+r$