Implementação de precisão dupla rápida e precisa da função gama incompleta

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Qual é a maneira mais avançada de implementar funções especiais de precisão dupla? Preciso da seguinte integral: para e , que pode ser escrita em termos da função gama incompleta inferior. Aqui está minha implementação de Fortran e C:

F_{m} (t) = \int_{0 0}^{1 1} {você}^{2 m} e^{- t {você}^{2}} d você = \frac{γ (m + \frac{1 1}{2}, t)}{2 t^{m + \frac{1 1}{2}}}

$F_m(t) = \int_0^1 u^{2m} e^{-tu^2} d u = {\gamma(m+{1\over 2}, t)\over 2 t^{m+{1\over 2}}}$

m = 0, 1, 2, . . .

$m=0, 1, 2, ...$

t > 0

$t>0$

https://gist.github.com/3764427

que usa expansão em série, resume os termos até a precisão especificada e, em seguida, usa relações de recursão para obter com eficiência valores para inferiores . Testei bem e obtenho precisão 1e-15 para todos os valores de parâmetros necessários, consulte os comentários da versão Fortran para obter detalhes. $m$

Existe uma maneira melhor de implementá-lo? Aqui está uma implementação da função gama no gfortran:

https://github.com/mirrors/gcc/blob/master/libgfortran/intrinsics/c99_functions.c#L1781

está usando aproximação de função racional em vez de resumir algumas séries infinitas que estou fazendo. Eu acho que é uma abordagem melhor, porque é preciso obter precisão uniforme. Existe alguma maneira canônica de abordar essas coisas, ou é preciso descobrir um algoritmo especial para cada função especial?

Atualização 1 :

Com base nos comentários, aqui está a implementação usando o SLATEC:

https://gist.github.com/3767621

reproduz valores de minha própria função, aproximadamente no nível de precisão 1e-15. No entanto, notei um problema que, para t = 1e-6 em = 50, o termo fica igual a 1e-303 e, para "m" superior, ele simplesmente começa a dar respostas incorretas. Minha função não tem esse problema, porque eu uso uma série de relações de expansão / recorrência diretamente para . Aqui está um exemplo de um valor correto: $t^{m+{1\over2}}$ $F_m$

$F_{100}$ (1e-6)=4.97511945200351715E-003 ,

mas não consigo fazer isso usando SLATEC porque o denominador explode. Como você pode ver, o valor real de é bom e pequeno. $F_m$

Atualização 2 :

Para evitar o problema acima, pode-se usar a função dgamit( função Gamma incompleta do Tricomi) e F(m, t) = dgamit(m+0.5_dp, t) * gamma(m+0.5_dp) / 2, portanto, não há mais problema com , mas, infelizmente, a explosão ocorre por . Este, porém, pode ser alta o suficiente para os meus propósitos. $t$ gamma(m+0.5_dp) $m\approx 172$ $m$

efficiency accuracy special-functions

— Ondřej Čertík
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Por que codificar sua própria função? GSL, cephes e SLATEC todos os implementam.

— Geoff Oxberry

Atualizei a pergunta por que não uso o SLATEC.

— Ondřej Čertík

@ OndřejČertík Você descobriu um bug aparente! Votou com sua pergunta!

— Ali

Ali --- não é um bug no SLATEC, mas, na verdade, eu preciso dividir por para obter um valor para . Portanto, o método numérico que funciona para pode não funcionar tão bem para .

γ (z, x)

$\gamma(z, x)$

t^{m + \frac{1}{2}}

$t^{m+{1\over2}}$

F_{m} (t)

$F_m(t)$

γ (z, x)

$\gamma(z, x)$

F_{m} (t)

$F_m(t)$

— Ondřej Čertík

@ OndřejČertík OK, desculpe, meu erro, eu não verifiquei seu código antes de fazer meu comentário.

— Ali

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A integral em questão também é conhecida como função de Boys, após o químico britânico Samuel Francis Boys, que introduziu seu uso no início dos anos 50. Alguns anos atrás, eu precisava calcular essa função em dupla precisão, o mais rápido possível, mas com precisão. Eu consegui alcançar um erro relativo da ordem de $10^{-15}$ em todo o domínio de entrada.

É geralmente vantajoso usar aproximações diferentes para argumentos pequenos e grandes, onde a melhor alternância entre "grande" e "pequeno" é melhor determinada experimentalmente e, em geral, é uma função de . Para o meu código, defini argumentos "pequenos" como aqueles que satisfazem a condição $m$ . $a \le m + 1{1\over 2}$

Para grandes argumentos, eu computo

F_{m} (a) = \frac{1}{2} γ (m + \frac{1}{2}, a) \times p \times p, p = a^{- \frac{1}{2} (m + \frac{1}{2})}

$\mathrm{F}_m(a) = {1\over 2}\gamma\left(m + {1\over 2}, a\right) \times p \times p, \space \space p = a^{-{1\over 2}\left(m+ {1\over 2}\right)}$

Essa ordem de operações evita o fluxo insuficiente prematuro. Como precisamos apenas da função gama incompleta mais baixa de ordens sem número inteiro aqui, em vez de uma função gama incompleta mais baixa totalmente geral, é vantajoso do ponto de vista do desempenho calcular

γ (m + \frac{1 1}{2}, uma) = Γ (m + \frac{1 1}{2}) - Γ (m + \frac{1 1}{2}, uma)

$\gamma \left(m + {1\over 2}, a\right) = \Gamma \left(m + {1\over 2}\right) - \Gamma\left(m + {1\over 2}, a\right)$

usando valores tabulados de e computação $\Gamma \left(m + {1\over 2}\right)$ acordo com esta resposta, evitando cuidadosamente a questão do cancelamento subtrativo através do uso de uma operação de adição múltipla fundida. Uma possível otimização adicional é observar que para,suficientemente grande $\Gamma\left(m + {1\over 2}, a\right)$ $a$ dentro de uma determinada precisão de ponto flutuante. $\gamma \left(m + {1\over 2}, a\right) = \Gamma \left(m + {1\over 2}\right)$

Para pequenos argumentos, comecei com uma expansão em série para a função gama incompleta mais baixa de

A. Erdelyi, W. Magnus, F. Oberhettinger e FG Tricomi, "Higher Transcendental Functions, Vol. 2". Nova York, NY: McGraw-Hill 1953

e modificou-o para calcular a função de meninos seguinte maneira (truncando a série quando o termo é suficientemente pequeno para uma determinada precisão): $\mathrm{F}_{m}(a)$

F_{m} (a) = \frac{1}{2} \frac{1}{m + \frac{1}{2}} \exp (- a) (1 + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a^{n}}{(1 + m + \frac{1}{2}) \times . . . \times (n + m + \frac{1}{2})})

$\mathrm{F}_{m}(a) = {1\over 2}\frac{1}{m + {1\over 2}}\exp(-a)\left(1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^{n}}{(1 + m + {1\over 2}) \times\space ...\space \times (n + m + {1\over 2})}\right)$

$m = 0, 1, 2, 3$ $\mathrm{F}_{0}(a) = \sqrt{\frac{\pi}{4a}}\mathrm{erf}\left(\sqrt{a}\right)$ $\mathrm{erf}$ ERFerferff

$m = 1, 2, 3$ $a \lt {2{1\over 2}}$ $\mathrm{F}_{m}(a) = \frac{1}{2a}\left(\left(2m-1\right)\mathrm{F}_{m-1}(a) - \exp(-a)\right)$

$a$ $m$ $m$ $\mathrm{F}_{m-1} = \frac{1}{2m-1} \left(2a \space \mathrm{F}_{m}(a) + \exp\left(-a\right)\right)$

— njuffa
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Obrigado @njuffa pela ótima resposta. Se você criar seu código para esse código-fonte aberto, acho que seria muito útil para muitas pessoas.

— Ondřej Čertík

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Atualmente, uma implementação CUDA do algoritmo descrito está disponível para download gratuito no site do desenvolvedor da NVIDIA (requer registro gratuito como desenvolvedor CUDA, aprovação geralmente dentro de um dia útil). O código está sob uma licença BSD, que deve ser compatível com praticamente qualquer tipo de projeto.

— Njuffa

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Você pode dar uma olhada em Métodos numéricos para funções especiais de Amparo Gil, Javier Segura e Nico M. Temme.

— John D. Cook
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Este é um ótimo livro, obrigado pela dica!

— Ondřej Čertík

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Eu daria uma olhada no livro de Abramowicz & Stegun, ou na revisão mais recente que o NIST publicou há alguns anos atrás e acredito que esteja disponível online. Eles também discutem maneiras de implementar as coisas de maneira estável.

— Wolfgang Bangerth
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Eu estava usando isso: dlmf.nist.gov/8 , ao implementá-lo, mas isso provavelmente é outro recurso. O capítulo 5 em Receitas numéricas também possui informações interessantes, mas aplicáveis apenas às funções de uma variável.

— Ondřej Čertík

Eu não acho que você encontrará algo muito mais recente do que a referência de 2001; O SLATEC será mais antigo que isso.

— amigos estão dizendo sobre geoff

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Não parece ser o estado da arte, mas o SLATEC da Netlib oferece "1400 rotinas matemáticas e estatísticas de uso geral". A gama incompleta está disponível sob as funções especiais aqui .

A implementação de tais funções é demorada e propensa a erros, então eu não faria isso a menos que fosse absolutamente necessário. O SLATEC já existe há algum tempo e é amplamente utilizado, pelo menos com base na contagem de downloads , portanto, espero que a implementação esteja madura.

— Todos
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