Alternativas à análise de estabilidade de von neumann para métodos de diferenças finitas

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Estou trabalhando na resolução das equações de poroelasticidade unidimensional acopladas (modelo de biot), dadas como:

- (λ + 2 μ) \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial p}{\partial x} = 0

$-(\lambda+ 2\mu) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial p}{\partial x} = 0$

\frac{\partial}{\partial t} [γ p + \frac{\partial u}{\partial x}] - \frac{κ}{η} [\frac{\partial^{2} p}{\partial x^{2}}] = q (x, t)

$\frac{\partial}{\partial t} \left[ \gamma p + \frac{\partial u}{\partial x}\right] -\frac{\kappa}{\eta}\left[\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}\right] =q(x,t)$ no domínio e com as condições de contorno:

Ω = (0, 1)

$\Omega=(0,1)$

$p=0, (\lambda + 2\mu)\frac{\partial u}{\partial x}=-u_0$ em e em . $x=0$ $u=0, \frac{\partial p}{\partial x} = 0$ $x=1$

Eu discretizei essas equações usando um esquema de diferença finita centrada:

(λ + 2 μ) \frac{u_{i + 1}^{t + 1} - 2 u_{i}^{t + 1} + u_{i - 1}^{t + 1}}{Δ x^{2}} + \frac{p_{i + 1}^{t + 1} - p_{i - 1}^{t + 1}}{2 Δ x} = 0

$(\lambda + 2\mu)\frac{u^{t+1}_{i+1}-2u^{t+1}_i+u^{t+1}_{i-1}}{\Delta x^2} + \frac{p^{t+1}_{i+1}-p^{t+1}_{i-1}}{2\Delta x} = 0$

γ \frac{p_{i}^{t + 1} - p_{i}^{t}}{Δ t} + \frac{u_{i + 1}^{t + 1} - u_{i - 1}^{t + 1}}{2 Δ x Δ t} - [\frac{u_{i + 1}^{t} - u_{i - 1}^{t}}{2 Δ x Δ t}] - \frac{κ}{η} [\frac{p_{i + 1}^{t + 1} - 2 p_{i}^{t + 1} + p_{i - 1}^{t + 1}}{Δ x^{2}}] = q_{i}^{t + 1}

$\gamma \frac{p^{t+1}_i-p^t_i}{\Delta t} + \frac{u^{t+1}_{i+1}-u^{t+1}_{i-1}}{2\Delta x \Delta t} -\left[ \frac{u^t_{i+1}-u^t_{i-1}}{2\Delta x \Delta t}\right] - \frac{\kappa}{\eta}\left[ \frac{p^{t+1}_{i+1} -2p^{t+1}_i + p^{t+1}_{i-1}}{\Delta x^2}\right]=q^{t+1}_i$

Atualmente, estou elaborando os detalhes da convergência do esquema analisando sua consistência e estabilidade. A parte da consistência parece bastante direta para mim, mas já estou prevendo algumas dificuldades com a análise de estabilidade. Primeiro de tudo, existem duas variáveis e duas equações. Em segundo lugar, há também um termo derivado espaço-temporal misto na segunda equação. Eu estou familiarizado com a análise de estabilidade de von neumann e posso ver que será muito difícil estabelecer estabilidade com esse método. Existem alternativas à análise von neumann que eu possa usar?

— Paulo
fonte

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Se você não se sentir à vontade para fazer a análise com um sistema de equações, apenas diferencie a primeira equação em relação a a segunda em relação a . Em seguida, use a igualdade de derivadas parciais mistas para eliminar .

t

$t$

x

$x$

u

$u$

— David Ketcheson

@DavidKetcheson: Interessante. Em essência, você está sugerindo que eu poderia reduzir o sistema a uma única variável e conduzir a análise padrão de von neumann em sem nenhuma perda de generalidade para ?

p

$p$

u

$u$

— Paul

É o mesmo problema, se você o escreve como um sistema ou como um PDE escalar.

— David Ketcheson

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Se você substituir, pelo menos por sua análise, por , poderá escrever seu sistema como onde todas as constantes são definidas como e onde o subscrito se refere à discretização do espaço, tanto das variáveis quanto dos operadores diferenciais. Seu esquema é então obtido aproximando via Euler implícito. $\frac{\partial u}{\partial x}$ $u_x$

[\begin{matrix} 0 & 0 \\ I & I \end{matrix}] \frac{d}{d t} [\begin{matrix} p_{h} (t) \\ u_{x, h} (t) \end{matrix}] + [\begin{matrix} - \partial_{h} & \partial_{h} \\ - Δ_{h} & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} p_{h} (t) \\ u_{x, h} (t) \end{matrix}] = [\begin{matrix} q_{h} (t) \\ 0 \end{matrix}] (*)

$\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ I & I \end{bmatrix} \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} p_h(t) \\ u_{x,h}(t) \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -\partial_h & \partial_h \\ -\Delta_h & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} p_h(t) \\ u_{x,h}(t) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} q_h(t) \\ 0 \end{bmatrix} \quad (*)$

1

$1$

_{h}

${}_h$

\frac{d}{d t}

$\frac{d}{dt}$

Agora a estrutura diferencial-algébrica (DAE) é evidente. Para as variáveis existem equações diferenciais (no tempo) e algébricas.

Se você puder mostrar que é invertível, cf. esta pré - impressão [pág. 3] e a edição abaixo, em que o DAE é do índice 1 ou sabe-se que Euler implícito e sem estranheza é convergente, consulte o Teorema 5.12 neste livro . (Isenção de responsabilidade: este livro não está disponível gratuitamente e foi escrito pelo meu supervisor de doutorado) $\begin{bmatrix} -\partial_h & \partial_h \\ I & I \end{bmatrix}$

Com essa abordagem, você pode contornar a análise de estabilidade.

Para uma prova direta da estabilidade de , tentaria usar a Equação para aplicar a análise de estabilidade de von Neumann usando as funções próprias de e investigando o efeito de nas funções próprias. $L^2$ $(*)$ $\Delta_h$ $\partial_h$

No entanto , se a estabilidade não puder ser estabelecida para , isso não significa que seu esquema não é convergente - devido à substituição de . De um modo geral, pode-se esperar estabilidade para esquemas que se aproximam das variáveis reais, e não para esquemas que se aproximam de suas derivadas. $(*)$ $u\leftarrow u_x$

APÊNDICE: Diz-se que um DAE é o índice 1, se puder ser transformado em uma EDO sem diferenciar as equações.

Digamos, o DAE está no formato A invertibilidade de implica que há uma transformação variável que eventualmente troca as colunas dos coeficientes para que com invertível (propriedade de classificação completa de ) e invertível (o complemento de Schur).

[\begin{matrix} E_{1} \\ 0 \end{matrix}] \dot{y} + [\begin{matrix} A_{1} \\ A_{2} \end{matrix}] y = f .

$\begin{bmatrix} E_1 \\ 0 \end{bmatrix}\dot y + \begin{bmatrix} A_1 \\ A_2 \end{bmatrix} y = f.$

[\begin{matrix} E_{1} \\ A_{2} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} E_1 \\ A_2 \end{bmatrix}$

\tilde{y} \to y

$\tilde y \to y$

[\begin{matrix} E_{1} \\ A_{2} \end{matrix}] \to [\begin{matrix} {\tilde{E}}_{11} & {\tilde{E}}_{12} \\ {\tilde{A}}_{21} & {\tilde{A}}_{22} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} E_1 \\ A_2 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} \tilde E_{11} & \tilde E_{12} \\ \tilde A_{21} & \tilde A_{22} \end{bmatrix}$

{\tilde{A}}_{22}

$\tilde A_{22}$

A_{2}

$A_2$

{\tilde{A}}_{11} - {\tilde{E}}_{12} {\tilde{A}}_{22}^{- 1} {\tilde{A}}_{21}

$\tilde A_{11} - \tilde E_{12} \tilde A_{22}^{-1} \tilde A_{21}$

Para o sistema isso significa que a parte algébrica definida com pode ser usada para resolver uma parte de . Então, pode-se eliminar da parte diferencial (a segunda linha de bloco em ), para obter um ODE para as demais variáveis. $(*)$ $A_2:=[-\partial_h ~ \partial_h]$ $\tilde y_2$ $(p_h,u_{x,h})$ $\frac{d}{dt}\tilde y_2$ $(*)$

— Jan
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Esta é uma técnica muito interessante. Eu olhei para o artigo que você referenciou e estou curioso para saber como você concluiu que devem ser invertíveis . Qual teorema você aplicou?

[\begin{array}{cc} - \partial_{h} & \partial_{h} \\ I & I \end{array}]

$\left[\begin{array}{cc}-\partial_h &\partial_h\\ I & I \end{array}\right]$

— Paul

@Paul Eu não encontrei um teorema para referência, então vou inserir os argumentos na minha resposta ... #

— :

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Não estou familiarizado com as equações apresentadas aqui, mas lembro-me de aprender outro método para verificar a estabilidade de um esquema numérico em meus cursos. É conhecido como análise de equações modificadas.

Aqui está uma boa referência para isso,

http://193.146.160.29/gtb/sod/usu/$UBUG/repositorio/10291890_Warming.pdf

Na referência acima, a conexão entre a teoria da estabilidade baseada na análise de equações modificadas e a análise de estabilidade de Von Neumann é estabelecida.

Depois de um pouco de pesquisa on-line, me deparei com as seguintes referências,

Este artigo discute a modelagem por diferenças finitas das equações poroelásticas de Biot em frequências sísmicas. Também possui uma seção sobre estabilidade do esquema numérico.

Este artigo apresenta uma estratégia de solução para dissociar o sistema acoplado e verificar a estabilidade do esquema numérico.

— Subodh
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Não realizei a análise de equações modificada nas equações acima, mas como a pergunta pedia alternativas à análise de Von Neumann, escrevi a resposta acima. É bem possível que não responda à pergunta. Mas alguém pode achar úteis as referências listadas em seu trabalho.

— Subodh 23/05

Obrigado pela referência! Percebo que o formulário necessário no seu artigo Análise de equações modificadas não se encaixa perfeitamente nas equações que estou usando, mas é bastante interessante aprender novas técnicas de análise!

— Paul