Como integrar expressão polinomial sobre elemento 3D de 4 nós?

Quero integrar uma expressão polinomial sobre um elemento de 4 nós em 3D. Vários livros sobre FEA cobrem o caso em que a integração é executada sobre um elemento plano arbitrário de 4 neros. O procedimento usual neste caso é encontrar a matriz de Jacobi e usá-lo é determinante para alterar a base de integração para a normalizada, na qual eu tenho os limites de integração mais simples [-1; 1] e a técnica da quadratura de Gauss-Legendre é usada facilmente.

Em outras palavras $\displaystyle\int_S f(x,y)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,$ é reduzido para a forma $\displaystyle\int^{-1}_{1}\int^{-1}_{1} \tilde{f}(e,n)\ \left|\det(J)\right|\,\mathrm{d}e\,\mathrm{d}n$

Mas, no caso 2D, altero o elemento arbitrário plano para o plano, mas com o quadrado bem formado 2 por 2.

O elemento 3D de 4 acenos não é plano em geral, mas suponho que ainda possa ser mapeado com o sistema de coordenadas 2D, que está de alguma forma relacionado ao sistema de coordenadas cartesianas. Não consigo descobrir como expressar {x, y, z} em termos de {e, n} e qual seria o tamanho da matriz Jacobi nesse caso (deveria ser quadrado).

Domínios 2D e 3D

finite-element quadrature

— danny_23
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Você está integrando uma função em um coletor bidimensional incorporado em ; livros em análise sobre variedades (como o livro acessível de Munkres ou os livros de Lee sobre variedades) são úteis para discutir a teoria que define esse tipo de integral. $\mathbb{R}^{3}$

Vamos supor que é uma função com valor real definida no coletor , que é o elemento 3D de 4 nós. $f$ $\mathcal{M}$

Você deseja calcular:

\begin{aligned} \int_{M} f d S . \end{aligned}

$\begin{align} \int_{\mathcal{M}} f \,\mathrm{d}S. \end{align}$

Suponha que é uma função que mapeia para . Então $\varphi$ $[-1,1]^{2}$ $\mathcal{M}$

\begin{aligned} \int_{M} f d S = \int_{[- 1, 1]^{2}} f (φ (x, y)) (det (D φ^{T} (x, y) D φ (x, y)))^{1 / 2} d x d y \end{aligned}

$\begin{align} \int_{\mathcal{M}} f \,\mathrm{d}S = \int_{[-1,1]^{2}} f(\varphi(x,y))\Big(\det\big(\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}(x,y)\mathrm{D}\varphi(x,y)\big)\Big)^{1/2}\, \mathrm{d}x \,\mathrm{d}y \end{align}$

(Usei esse conjunto de notas para atualizar minha memória.) Acima, é a matriz jacobiana de e é sua transposição. $\mathrm{D}\varphi$ $\varphi$ $\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}$

Depois de escrever a integral sobre , é possível usar métodos numéricos para avaliá-la. $[-1,1]^{2}$

Alguns comentários:

Tenho certeza de que seu elemento 3D de 4 nós é um coletor. Se for, a função existe (por definição), é contínua por partes (para variedades topológicas) e é invertível. Cabe a você encontrar uma função com essas propriedades. $\varphi$
O argumento acima supõe que é uma variedade suave, o que implica que existe um que é continuamente diferenciável. No seu caso, o elemento que você descreve pode não ser continuamente diferenciável. Se isso for verdade, você provavelmente ainda pode particionar seu coletor em dois coletores suaves e o argumento acima ainda é válido. Novamente, você deve encontrar satisfazendo as propriedades de invertibilidade e diferenciabilidade contínua. $\mathcal{M}$ $\varphi$ $\varphi$

— Geoff Oxberry
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Muito obrigado. O livro que estou lendo cobre apenas o caso em que uma matriz Jacobi quadrada (2 por 2) está envolvida para manter as coisas simples. A expressão acima, se eu acertar, torna possível o uso de matrizes Jacobi de tamanho arbitrário (2 por 3). Infelizmente ainda estou recebendo no momento, mas é muito melhor do que eu tinha antes. Vou criar outro thread na escolha adequada da função de mapeamento. Obrigado novamente.

det (D φ^{T} (x, y) D φ (x, y)) = 0

$\det(\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}(x,y)\mathrm{D}\varphi(x,y))=0$

— 217128

Sua matriz jacobiana

D φ

$\mathrm{D}\varphi$ deve ser 3 por 2, então deve ser uma matriz 2 por 2.

D φ^{T} D φ

$\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}\mathrm{D}\varphi$

— Geoff Oxberry

Geoff, está correto. Eu coloquei uma fórmula geral simples, mais um exemplo trabalhado aqui: theoretical-physics.net/dev/src/math/integration.html

— Ondřej Čertík