Exemplos de equações de Helmholtz e biharmonic com solução exata

Estou procurando exemplos de equações de Helmholtz e Biharmonic em coordenadas cartesianas com soluções exatas, a fim de comparar minhas soluções numéricas com ela.

Consegui encontrar alguns exemplos na internet, onde o problema com as condições de contorno foi definido com precisão. Infelizmente, esses foram apenas exemplos ilustrativos e soluções exatas.

Fui encorajado a fabricar a solução (como em math.stackexchange.com , e fiz isso com sucesso). Eu tinha medo, nesse caso, de que alguns exemplos interessantes que os especialistas em PDEs conhecem não seriam tratados, como algumas soluções dadas por séries infinitas (que eu truncaria quando algum nível de precisão fosse alcançado). Por exemplo, o dado no artigo da Wikipeda sobre BVPs elípticas é interessante.

Qualquer exemplo em particular ou um link útil para uma página da web ou um artigo é apreciado.

Procure o livro Vibração de pratos de Arthur Leissa. Possui soluções explícitas para placas quadradas e circulares. Incluindo tabelas com valor próprio aproximado para diferentes condições de contorno.

Uma caixa retangular alinhada por eixo (comprimento / largura / altura = a / b / c) com condições de dirichlet ( ) nas paredes admite uma forma fechada / solução exata? Talvez um produto tensor dos sinusóides, por exemplo, ϕ ( x , y , z ) = s i n ( k x x ) s i n ( k y y ) s i n ( k z z ) . Escolha k x / k y / k $\phi=0$$\phi(x,y,z) = sin(k_x x)sin(k_y y)sin(k_z z)$$k_x/k_y/k_z$criteriosamente para realizar a condição dirichlet, por exemplo, , k y = m π / b , k z = p π / c , para alguns números inteiros (n, m, p). Conecte essa solução ao d i $k_x = n\pi/a$$k_y = m\pi/b$$k_z = p\pi/c$ operador, então a equação resultante, d i $div \, grad$ , deve fornecer a condição de separação para k x , k y , k z (provavelmente k 2 x + k 2 y + k 2 z = k 2 ).$div\,grad \, \phi = k^2 \phi$$k_x,k_y,k_z$$k_x^2+k_y^2+k_z^2=k^2$

Esta é uma tarifa meio padrão para a equação de onda vetorial / equações de maxwell (eletromagnetismo), eu não brinquei muito com a equação escalar helmholtz, mas esperaria que funcionasse de maneira semelhante. Para ressonadores eletromagnéticos / o VWE, eu recomendaria a "Advanced Engineering Electromagnetics" da Balanis. Provavelmente existe uma referência comparável para a equação escalar de Helmholtz (um texto acústico de pós-graduação, talvez?), Mas eu não saberia o que é.

Não tenho experiência com a equação biarmonica.