Quando métodos implícitos devem ser usados ​​na integração de EDPs hiperbólicas?

Os métodos numéricos para resolver EDPs (ou EDOs) se enquadram em duas grandes categorias: métodos explícitos e implícitos. Métodos implícitos permitem timestais estáveis ​​maiores, mas exigem mais trabalho por etapa. Para PDEs hiperbólicas, o senso comum é que os métodos implícitos geralmente não são recompensados ​​porque o uso de intervalos de tempo maiores do que os permitidos pela condição CFL leva a resultados muito imprecisos. No entanto, métodos implícitos são usados ​​em alguns casos. Para um determinado aplicativo, como escolher um método explícito ou implícito?

A questão central é quais processos físicos (ondas ou termos de origem) têm escalas de tempo que você está interessado em resolver e quais você prefere renunciar. Se você não está interessado na escala de tempo mais rápida do sistema, as equações são chamadas de "rígidas". As leis de conservação hiperbólica são tipicamente escritas como sistemas de primeira ordem

$$u_t + \nabla\cdot F(u) = G(u,\nabla u,...)$$

onde contém variáveis ​​conservadas, é o fluxo e é chamado de "termo fonte". Note-se que com esta terminologia, o fluxo não contém derivados, portanto termos difusivos e dispersivo deve ir no . É bastante comum usar a integração implícita ou semi-implícita quando os termos da fonte são rígidos, como em muitos problemas de reação química e quando há difusão ou dispersão. A reação química geralmente pode ser resolvida implicitamente localmente em cada elemento, uma vez que não está acoplada às células vizinhas.$u$$F$$G$$F$$G$

Para calcular a velocidade das ondas, examinamos os autovalores do fluxo Jacobiano . Se decidirmos que a fase de certas ondas não é de interesse físico, podemos passar por cima delas.$A = [\partial F/\partial u]$

Por exemplo, se você estiver simulando a evolução de longo prazo de um oceano, pode não estar interessado em ondas de gravidade da superfície (por exemplo, tsunamis). Infelizmente, alterar a velocidade da onda (diminuindo a velocidade para usar métodos explícitos ou acelerando-a para um modelo de "tampa rígida" que pode usar uma projeção) muda a física, alterando a maneira como os vórtices se propagam. Os vórtices no oceano são um efeito em que a onda de gravidade é quase equilibrada com a convecção, mas não exatamente.

Outro exemplo é o Euler compressível, por exemplo, fluxo de ar através de um data center. A velocidade da onda acústica é muito mais rápida que a convecção e apenas a última é importante para a transferência de calor. Se você não está interessado em acústica, convém usar um método implícito.

A eficiência relativa de um método implícito depende do custo para resolver os sistemas algébricos em cada etapa / estágio em comparação com o tamanho da etapa que pode ser usada com métodos explícitos. A solução eficiente de tais sistemas algébricos é um tópico ativo de pesquisa. (Faça outra pergunta e eu responderei e referência a partir daqui.)

Você também pode usar métodos implícitos se:

• suas equações têm estados estáveis ​​significativos que você deseja explorar diretamente, talvez para caracterizar a estabilidade
• você está resolvendo problemas de assimilação inversa / de dados que envolvem um longo histórico de tempo
• você deseja contornar barreiras de ordem para usar métodos de integração com tempo de ordem muito alto com determinadas propriedades de estabilidade
• você está usando métodos adaptativos espaço-tempo
• você está usando uma discretização espacial que já exige resolver um sistema algébrico (por exemplo, métodos de elementos finitos contínuos com matriz de massa consistente)