PDEs em várias dimensões

Eu sei que a maioria dos métodos para encontrar soluções aproximadas para os PDEs se dimensiona mal com o número de dimensões e que Monte Carlo é usado para situações que exigem ~ 100 dimensões.

Quais são os bons métodos para resolver eficientemente numericamente PDEs em ~ 4-10 dimensões? 10-100?

Além de Monte Carlo, existem métodos que escalam bem com o número de dimensões?

pde monte-carlo high-dimensional

— Dan
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Pode ajudar a fornecer um pouco mais de informações sobre o tipo de problema que você está resolvendo. A maioria dos PDE manipulados em ciência computacional tende a ser no máximo quadridimensional (tempo mais três dimensões espaciais). As variáveis são espaciais ou temporais ou existem outras dependências que você está incluindo?

— aeismail

Variáveis espaciais. Na mecânica quântica, se você não quiser fazer as aproximações que você usa na teoria do funcional da densidade ou Hartree-Fock, a função de onda é

3 n

$3n$ dimensional, onde

n

$n$ é o número de elétrons. Assim, mesmo pequenos átomos e moléculas requerem um grande número de dimensões para serem manuseados corretamente.

— 21411 Dan

Depende muito de quais informações você deseja conhecer sobre a solução. Dificilmente se quer saber todos os detalhes sobre uma função de onda

n

$n$ elétron. Portanto, é preciso adaptar a técnica computacional à informação realmente desejada.

— Arnold Neumaier 16/04/12

Por favor, cite uma referência para a solução de Monte Carlo de uma equação eletrônica de Schroedinger em 100 dimensões.

— Arnold Neumaier

Eu não tenho uma referência. Eu só ouvi falar de simulações em tantas dimensões sendo usadas para QCD. Eu só estou olhando para fazer a simulação de Schroedinger em 4-5 dimensões, mas fiquei imaginando se alguma coisa além de monte carlo tinha uma boa escala com o número de dimensões e 100 parecia um número grande e redondo para obter o dimensionamento assintótico.

— 21412 Dan

Respostas:

Uma maneira mais estruturada de fornecer uma base ou quadratura (que pode substituir o MC em muitos casos) em múltiplas dimensões é a de redes esparsas , que combina uma família de regras unidimensionais de ordem variável, de modo a ter um crescimento meramente exponencial. dimensão, , em vez de que essa dimensão seja um expoente da resolução . $2^d$ $N^d$

Isso é feito através do que é conhecido como quadratura Smolyak, que combina uma série de regras unidimensionais como $Q^1_l$

$Q^d_n = \displaystyle\sum^{n}_{l}(Q^{1}_i - Q^{1}_{i-1})\otimes Q^{d-1}_{m-i+1}$

Isso é equivalente ao espaço em quadratura do produto tensorial, com as altas ordens mistas removidas do espaço. Se isso for feito de maneira suficientemente severa, a complexidade poderá ser bastante aprimorada. No entanto, para que se possa fazer isso e manter uma boa aproximação, a regularidade da solução deve ter derivados mistos que desaparecem suficientemente.

As redes esparsas foram espancadas até a morte pelo grupo Griebel por coisas como a equação de Schrödinger no espaço de configuração e outras coisas de alta dimensão com bons resultados. No aplicativo, as funções básicas usadas podem ser bastante gerais, contanto que você possa aninhá-las. Por exemplo, ondas planas ou bases hierárquicas são comuns.

Também é bastante simples codificar você mesmo. Da minha experiência, realmente fazê-lo funcionar para esses problemas, no entanto, é muito difícil. Existe um bom tutorial .

Para problemas cujas soluções residem em espaços especializados de Sobolev, com derivativos que morrem rapidamente, a abordagem de grade esparsa pode gerar resultados ainda maiores .

Veja também o artigo de revisão da Acta Numerica, discretizações por tensores esparsos de PDEs paramétricos e estocásticos de alta dimensão .

— Peter Brune
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Existem exemplos bem conhecidos em que redes esparsas não são aplicáveis?

— MRocklin

Você realmente precisa da regularidade para manter. Além disso, se você tem cúspides de alta dimensão desagradáveis (como no QM), é preciso ter cuidado. Eu ouvi algumas histórias sobre a camarilha Sparse grid de largada a admitir (com provas mesmo) que não é que muito melhor do que Monte-Carlo, mas não consegue encontrar uma referência boa.

— precisa

Bem, o artigo sobre grade esparsa para schroedinger a que você se referiu trata apenas 2 elétrons. Quantos elétrons são realmente tratáveis pelo método?

— Arnold Neumaier

Como regra geral, é fácil entender por que as grades regulares não podem ir muito além dos problemas tridimensionais ou tridimensionais: nas dimensões d, se você quiser ter um mínimo de N pontos por direção de coordenada, obterá N ^ d pontos no geral. Mesmo para funções relativamente boas em 1d, você precisa de pelo menos N = 10 pontos de grade para resolvê-los, de modo que o número total de pontos será 10 ^ d - ou seja, mesmo nos maiores computadores que você provavelmente não vai além de d = 9 e provavelmente não irá muito além do que nunca . As redes esparsas podem ajudar em algumas circunstâncias, se a função solução tiver certas propriedades, mas, em geral, você terá que conviver com as conseqüências da maldição da dimensionalidade e seguir os métodos MCMC.

— Wolfgang Bangerth
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MCMC de quê?

— 21411 Dan

Cadeia de Markov Monte Carlo: en.wikipedia.org/wiki/Markov_chain_Monte_Carlo

— Jack Poulson

$d=4,...,100$ $d=100,101,...\infty$

— Paulo
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O (\sqrt{N})

$O(\sqrt{N})$

10^{7}

$10^7$

C^{k, α}

$C^{k,\alpha}$