Avaliando seno e cosseno de um múltiplo inteiro de um ângulo

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Ao avaliar harmónicas cilíndricas, é preciso avaliar funções trigonométricas e , potencialmente para grande número inteiro e . Qual é a melhor maneira de fazer isso no código C? Atualmente, eu apenas avalio no ângulo , mas eu suspeitaria que as bibliotecas padrão perdem precisão em argumentos grandes. Eu estava pensando em usar fórmulas de ângulo duplo e similares para reduzir recursivamente a magnitude dos argumentos, mas estou pensando se isso acaba causando mais erros. $\cos(m\theta)$ $\sin(m\theta)$ $m$ $\theta\in[-\pi,\pi]$ $m\theta$

special-functions

— Victor Liu
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Se você fizer iterativamente, computando e partir de e , os erros de ponto flutuante não explodirão por acumulação . Isso ocorre porque a matriz de transição é ortonormal. É uma matriz de rotação simples. $\sin(n \theta)$ $\cos(n \theta)$ $\sin((n - 1) \theta)$ $\cos((n - 1) \theta)$

Hum, esse é um bom argumento. No entanto, mesmo se os erros não explodirem, tenho alguma garantia de que o resultado não se afastou do que deveria ser a resposta "exata"?

— Victor Liu

Duvido que os resultados sejam muito diferentes em comparação com a resposta exata. Você pode tentar

e

para saber o que esperar.

m = 1000

$m = 1000$

θ = π / m

$\theta = \pi/m$

Sempre que

é par, eu usaria a fórmula de ângulo duplo para cortar o expoente ao meio. Isto corresponde a calcular o

° de alimentação da matriz de rotação com o

algoritmo.

n

$n$

n

$n$

O (\log (n))

$O(\log(n))$

— Erik P.

Você está certo. A minha resposta foi baseado no pressuposto de que todos os valores intermédios (

) irá também ser usado.

1, . . ., m - 1

$1,...,m-1$

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Já encontrei um problema semelhante antes, mas estava mais preocupado com velocidade do que com precisão (consulte o documento aqui ). Se o seu ângulo for o resultado de um , o que geralmente ocorre em cálculos geométricos, você pode usar os polinômios de Chebyshev, definidos como $\vartheta$ $\arccos(\cdot)$

T_{k} (x) = porque (k \arccos (x)), ou T_{k} (porque (ϑ)) = porque (k ϑ)

$T_k(x) = \cos(k\arccos(x)), \quad \mbox{or} \quad T_k(\cos(\vartheta)) = \cos(k\vartheta)$

e pode ser avaliado rapidamente e de forma estável usando a relação de recorrência de três períodos

T_{k} (x) = 2 x T_{k - 1} (x) - T_{k - 2} (x), T_{0 0} (x) = 1, T_{1} (x) = x .

$T_k(x) = 2xT_{k-1}(x) - T_{k-2}(x), \quad T_0(x) = 1, \quad T_1(x) = x.$

$\cos(m\vartheta)$ $m+1$ $\cos(\vartheta)$

— Pedro
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$\cos\,kx$ $\sin\,kx$

A recorrência (efetivamente igual ao exemplo 4 em Bulirsch / Stoer, veja que para uma análise detalhada) ocorre da seguinte maneira:

\begin{aligned} porque (θ + ε) & = porque θ - (p porque θ + q pecado θ) \\ pecado (θ + ε) & = pecado θ - (p pecado θ - q porque θ) \end{aligned}

$\begin{align*} \cos(\theta+\varepsilon)&=\cos\,\theta-(p\cos\,\theta+q\sin\,\theta)\\ \sin(\theta+\varepsilon)&=\sin\,\theta-(p\sin\,\theta-q\cos\,\theta) \end{align*}$

onde temos as constantes pré-computadas

p = 2 {pecado}^{2} \frac{ε}{2}, q = pecado ε

$p=2\sin^2\frac{\varepsilon}{2},\qquad q=\sin\,\varepsilon$

$\varepsilon$

— JM
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