Estratégias para o método de Newton quando o jacobiano na solução é singular

Estou tentando resolver o seguinte sistema de equações para as variáveis e x 2 (todos os demais são constantes):$P,x_1$$x_2$

$$\frac{A(1-P)}{2}-k_1x_1=0 \\ \frac{AP}{2}-k_2x_2=0 \\ \frac{(1-P)(r_1+x_1)^4}{L_1}-\frac{P(r_1+x_2)^4}{L_2}=0$$

Percebo que posso transformar esse sistema de equações em uma única equação de uma única variável resolvendo as equações 1 e 2 para x 1 e x 2 respectivamente e substituindo-as na equação 3. Ao fazer isso, sou capaz de use o comando matlab para encontrar a solução. Usando os parâmetros k 1 = k 2 = 1 , r 1 = r 2 = 0,2 e A = 2 , achei a solução verdadeira P = x 1 = $(P)$$x_1$$x_2$fzero$k_1=k_2=1$$r_1=r_2=0.2$$A=2$ .$P=x_1=x_2=0.5$

No entanto, quando uso o método de newton aplicado ao sistema de equações 3 variável - 3 original, as iterações nunca convergem para a solução, não importa o quão perto eu comece da solução verdadeira . $x^*=(P^*,x_1^*,x_2^*)=(0.5,0.5,0.5)$

No começo, suspeitei de um erro na implementação do método de newton. Depois de verificar várias vezes, não encontrei nenhum bug. Então tentei usar um palpite inicial e eis que o jacobiano é singular. Sei que um jacobiano singular pode reduzir a ordem da convergência, mas não acho que isso impeça necessariamente a convergência para a verdadeira solução. $x_0=x^*$

Então, minha pergunta é: Dado que o jacobiano do sistema na verdadeira solução é singular:

1. Que outras condições são necessárias para provar que o método de Newton não convergirá para a raiz?

2. Uma estratégia de globalização (por exemplo, busca de linha) garantiria convergência, apesar do jacobiano singular?

(1): Isso depende do comportamento dos derivados do jacobiano (sic!) No espaço nulo do jacobiano na solução. Na prática, ninguém calcula essas derivadas e nem me importei em lembrar as condições precisas.

(2) funciona, embora a convergência seja apenas linear.

Para obter convergência superlinear (pelo menos na maioria dos casos), pode-se usar métodos tensores. Veja, por exemplo,
https://cfwebprod.sandia.gov/cfdocs/CCIM/docs/SAND2004-1944.pdf
http://www.jstor.org/stable/10.2307/2156931
http://www.springerlink.com/ index / X5G827367G548327.pdf

Em vez de uma pesquisa de linha, você pode tentar modificar o método de Newton para o algoritmo de Levenberg-Marquardt . A implementação é bastante simples se você estiver usando o Matlab.