Razão computacional de funções trigonométricas

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Eu tenho necessidade de calcular as funções: e onde e e geralmente são muito pequenos ( ). Existem formas gerais de gerar algoritmos altamente precisos para funções "especiais" como essas?

f (x) = \frac{\sin^{- 1} x}{x}

$f(x) = \frac{\sin^{-1}x}{x}$

g (x) = \frac{\sin a x}{\sin x}

$g(x) = \frac{\sin a x}{\sin x}$

a \in [0, 1]

$a\in[0,1]$

x \in [0, \frac{π}{2}]

$x\in[0,\frac{\pi}{2}]$

x ≪ 1

$x\ll 1$

special-functions

— Victor Liu
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Faça uma expansão polinomial (a regra de la l'Hopital) para o enumerador e o denominador e você terá uma função racional que, para pequeno , aproximará bem a função. $x$

Como exemplo:

\frac{\sin a x}{\sin x} \approx \frac{a x - \frac{1}{3!} (a x)^{3} + \dots}{x - \frac{1}{3!} x^{3} + \dots} = \frac{a - \frac{1}{3!} a^{3} x^{2} + \dots}{1 - \frac{1}{3!} x^{2} + \dots} .

$\frac{\sin ax}{\sin x} \approx \frac{ax-\tfrac 1{3!}(ax)^3 + \ldots}{x-\tfrac 1{3!}x^3 + \ldots} = \frac{a-\tfrac 1{3!}a^3x^2 + \ldots}{1-\tfrac 1{3!}x^2 + \ldots}.$

Você pode fazer melhor se tiver uma ideia do intervalo de valores no qual deseja avaliar. Você pode substituir a expansão de Taylor em torno de acima por uma interpolação mais adequada da abordagem de projeção para o intervalo de . $x$ $x_0=0$ $x$

— Wolfgang Bangerth
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Minha abordagem é usar software como o SymPy da seguinte maneira:

from sympy import var, sin, S
var("x a")
g = sin(a*x)/sin(x)
gseries = g.series(x, 0, 10).removeO()
s = {x: S(1)/100, a: S(1)/2}
print gseries.subs(s).n(30)
print g.subs(s).n(30)
print "%.17f" % g.subs({x: 1./100, a: 1./2})

que imprime:

0.500006250065104828565736800905
0.500006250065104828565736868886
0.50000625006510480

O primeiro número é uma expansão da série Taylor truncada em 10 termos, o segundo número é a avaliação exata. O SymPy usa aritmética exata, neste exemplo eu usei x = 1/100 e a = 1/2, mas você pode brincar com isso. Finalmente, avalio-o com 30 dígitos decimais, para que se possa comparar facilmente os números. O terceiro número é uma avaliação de precisão dupla usando carros alegóricos do Python.

Nesse caso, parece-me que não há cancelamento. Porém, para outras expressões, a avaliação direta de precisão dupla pode não ser suficientemente precisa e a expansão em série é uma maneira de avaliá-la. A outra é a aproximação racional, que usei MiniMaxApproximationno Mathematica no passado com grande sucesso.

— Ondřej Čertík
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