Como resolver numericamente a equação rígida neste problema restrito de três corpos?

Encontrei uma equação rígida para resolver o problema de três corpos com restrição circular. [Um objeto está se movendo considerando o efeito das forças gravitacionais causadas por duas fontes gravitacionais fixadas em um espaço 2D.]

As equações são estas:

$x''=-\frac{GM_1 (x-x_1)}{\sqrt{(x-x_1)^2+y^2}^3}--\frac{GM_2 (x-x_2)}{\sqrt{(x-x_2)^2+y^2}^3}$

$y''=-\frac{GM_1 y}{\sqrt{(x-x_1)^2+y^2}^3}--\frac{GM_2 y}{\sqrt{(x-x_2)^2+y^2}^3}$

Nem o Método Euler nem o Runge Kutta funcionarão como a propriedade próxima $(x_1, 0)$ ou $(x_1, 0)$ não é boa. Os derivativos mudam muito rápido. A simulação não pode ser resolvida corretamente. O objeto é muito fácil de atingir na fonte gravitacional.

Como posso consertar isso?

Obrigado!

Os integradores convencionais não preservam a "forma" do espaço de fase, levando a ganhos ou perdas sistemáticas de energia, portanto, você deve considerar integradores "simpáticos". Para encontros próximos, você deve considerar o método de Chambers (1999) Um integrador simplético híbrido que permite encontros próximos entre corpos maciços .

Você pode encontrar uma introdução muito legível aos solucionadores modernos de ODE no capítulo 7 do livro de Cleve Moler, Numerical Computing With MATLAB, disponível on-line aqui: http://www.mathworks.com/moler/odes.pdf Entre os tópicos que ele discute estão a estabilidade , como obter uma precisão prescrita com algoritmos de etapa de tempo variável e aplicação ao problema de dois corpos.