Métodos iterativos para sistemas indefinidos sem estrutura de blocos

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Sistemas indefinidos de matrizes aparecem, por exemplo, na discretização de problemas de pontos de sela por elementos finitos mistos. A matriz do sistema pode ser colocada no formato

(\begin{matrix} UMA & B^{t} \\ B & C \end{matrix})

$\begin{pmatrix} A & B^t \\ B & C\end{pmatrix}$

onde é negativo (semi) -definido, é positivo (semi-) definido e é arbitrário. Obviamente, dependendo da convenção, você pode usar condições de definição, mas essa é praticamente a estrutura dessas matrizes. $A$ $C$ $B$

Para esses métodos, o método de Uzawa pode ser empregado, que na verdade é apenas um "truque" para transformar o sistema em um sistema semi-definido equivalente que pode ser resolvido por Conjugado Gradiente, Gradiente Descendente e similares.

Eu enfrento um sistema indefinido que não tem essa estrutura de blocos. Os métodos do tipo Uzawa não se aplicam nesse caso. Estou ciente do método Residual Mínimo (MINRES), introduzido por Paige & Saunders, que é apenas uma recursão de três períodos e parece ser fácil de implementar.

Pergunta: O MINRES geralmente é uma boa escolha, por exemplo, para prototipagem? Tem alguma relevância prática? O pré-condicionamento não é um problema central no momento.

linear-algebra iterative-method

— shuhalo
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Você pode falar um pouco mais sobre o que torna suas matrizes especiais? Por exemplo, de que tipo de problema ele vem? Existe algum outro tipo de estrutura para isso? Etc. Etc.

— Bill Barth

Deixei-o intencionalmente em branco para obter a resposta mais geral (francamente, isso implica implicitamente que há uma resposta geral satisfatória). Mas o exemplo da equação de Helmholtz abaixo é o que eu tinha em mente.

— shuhalo

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Se você não está preocupado com o pré-condicionamento, MINRES é a opção padrão. No entanto, esteja ciente de que o MINRES requer um pré-condicionador definido positivo simétrico.

Se você estiver preocupado com o pré-condicionamento, é importante considerar as diferenças estruturais entre a maioria dos problemas do ponto de sela e os problemas gerais indefinidos. A maioria dos problemas de ponto de sela surge ao resolver problemas elípticos com restrições impostas pelos multiplicadores Lagrange. Incompressibilidade e restrições de contato são exemplos comuns. Para tais problemas, o operador é coercitivo no subespaço em que a restrição é satisfeita, com as funções de Green que decaem rapidamente. Tais problemas podem ser resolvidos eficientemente usando pré-condicionadores de blocos (Uzawa é um membro dessa família), multigrid com smoothers compatíveis (por exemplo, Vanka ou com base na decomposição de blocos) ou decomposição de domínio multinível com problemas locais e gerais apropriados.

O exemplo prototípico de um problema indefinido que não é um problema de ponto de sela é a equação de Helmholtz

- \nabla \cdot (uma \nabla você) - k^{2} você = f

$-\nabla\cdot \big( a \nabla u \big) - k^2 u = f$

$a(x)$ $k$

— Jed Brown
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Para ser justo, embora os pré-condicionadores amplos sejam certamente técnicos para implementar eficientemente em paralelo, a ideia não é específica para Helmholtz; o principal requisito é uma condição de contorno absorvente (por exemplo, Camadas perfeitamente combinadas).

— Jack Poulson

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Uma pergunta relacionada que pode ser interessante é: Quais diretrizes devo seguir ao escolher um solucionador de sistema linear esparso? , embora nesse caso, você estaria interessado apenas nos métodos iterativos. Minha compreensão dos métodos iterativos é que a convergência para qualquer método é fortemente dependente do espectro da sua matriz. Mesmo que você não possa usar o método de Uzawa, ainda pode tentar GMRES, gradiente estabilizado com Biconjugate, MINRES, o método residual quase-mínimo e outros métodos iterativos disponíveis que se aplicam a matrizes indefinidas.

Se a codificação dos vários métodos for uma preocupação, você poderá chamar solucionadores em seu algoritmo usando uma biblioteca como PETSc , que implementa uma variedade de solucionadores lineares iterativos.

— Geoff Oxberry
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MINRES é a melhor escolha para esse tipo de problema.

— Kees Vuik
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Por favor, não vincule seu site pessoal dessa maneira. Sinta-se à vontade para vincular recursos específicos relevantes à sua resposta, mas não vincule seu site pessoal dessa maneira. Eu o removi desta resposta. Esses links pertencem ao seu perfil de usuário.

— Jed Brown

Você poderia explicar por que o MINRES é a melhor escolha para esse tipo de problema? Adicionar mais detalhes ajudará a tornar sua resposta mais útil para a comunidade e ajudará a obter mais votos.

— Geoff Oxberry