Papel das condições de contorno (por exemplo, periódicas) na equação de Poisson

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Dada a equação de Poisson 3D e o lado direito e o domínio, sou livre para impor quaisquer condições de contorno (BC) à função , ou eles precisam ser de alguma forma consistentes com o lado direito? Em particular, se eu impor BC periódico, haverá exatamente uma solução para qualquer lado direito?

\nabla^{2} ϕ (x, y, z) = f (x, y, z)

$\nabla^2 \phi(x, y, z) = f(x, y, z)$

ϕ

$\phi$

Por exemplo, deixe: e resolvo em uma caixa . Agora qualquer solução deve ser uma soma de que: porque e é qualquer função harmônica (por exemplo, ). Corrigir?

f (x, y, z) = - 3 π^{2} \sin (π x) \sin (π y) \sin (π z)

$f(x, y, z) = - 3 \pi^{2} \sin{\left (\pi x \right )} \sin{\left (\pi y \right )} \sin{\left (\pi z \right )}$

(0, 1) \times (0, 1) \times (0, 1)

$(0, 1)\times (0, 1) \times (0, 1)$

ϕ_{0} + ϕ_{1}

$\phi_0+\phi_1$

ϕ_{0} (x, y, z) = \sin (π x) \sin (π y) \sin (π z),

$\phi_0(x, y, z) = \sin{\left (\pi x \right )} \sin{\left (\pi y \right )} \sin{\left (\pi z \right )}\,,$

\nabla^{2} ϕ_{0} = f

$\nabla^2\phi_0 = f$

ϕ_{1}

$\phi_1$

\nabla^{2} ϕ_{1} = 0

$\nabla^2\phi_1 = 0$

Se eu impor zero o Dirichlet BC, então é a única solução, porque satisfaz o BC, satisfaz a equação e a solução deve ser única. Corrigir? $\phi_0$

E se eu impor BC periódico? Isso significa que haverá alguma função harmônica tal que satisfaça o BC periódico e resolva a equação? O que é isso explicitamente neste caso? $\phi_1$ $\phi_0+\phi_1$ $\phi_1$

pde boundary-conditions elliptic-pde

— Ondřej Čertík
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Tecnicamente, essa pergunta é mais apropriada para math.SE.

— precisa saber é o seguinte

Eu não o mencionei explicitamente na pergunta, mas presumo implicitamente no contexto de um solucionador numérico baseado em elementos finitos (é por isso que estou interessado na resposta), mas a pergunta em si é de fato geral.

— Ondřej Čertík

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De uma perspectiva numérica, talvez seja mais fácil discutir as discretizações diretamente.

Para a equação de Poisson com condições de contorno homogêneas de Dirichlet, existe uma solução exclusiva para qualquer lado direito. Uma vez discretizada, a equação pode ser escrita na forma , onde é a discretização padrão do operador 3D Laplaciano com limite de Dirichlet é uma discretização padrão de . Como é definitivo positivo, é invertível e o sistema terá uma solução única para qualquer e, portanto, qualquer . $Ax = b$ $A$ $b$ $f$ $A$ $b$ $f$

Obviamente, existem problemas comuns com a subamostragem; se dois valores diferentes de dão origem à mesma discretização devido ao uso de uma grade grossa ou devido a descontinuidades em , pode haver alguma ambiguidade sobre qual sistema está realmente sendo resolvido. Mas, desde que a discretização de seja bem-comportada, uma solução única e significativa existirá. $f$ $f$ $f$

A situação é um pouco mais complicada no caso de condições de contorno periódicas porque a discretização padrão do operador 3D Laplaciano com limite periódico é semidefinida positiva e possui um núcleo unidimensional compreende soluções da forma com constante $K$ $x \equiv C$ $C$

Como ainda é simétrico no caso periódico, temos o e, portanto, não terá uma solução, a menos que , onde é o vetor que consiste em todos os 1s. Isso fornece a condição de consistência para o lado direito de forma discreta. $A$ $\operatorname{Range} A = K^\perp$ $Ax = b$ $\mathbf{1} \cdot b = 0$ $\mathbf{1}$

Observe que, analiticamente, existe uma maneira um pouco mais simples de ver isso. Lembre-se de que, para , onde é o nosso domínio, temos Se estipularmos uma condição de limite periódica em , o termo no lado direito desaparecerá e ficaremos com Portanto, se satisfaz , segue-se imediatamente que devemos ter Este é o analógico analítico de $\phi \in C^2(\Omega)$ $\Omega$

\int_{Ω} Δ ϕ d x = \int_{\partial Ω} \frac{\partial ϕ}{\partial n} d S .

$\int_\Omega \Delta \phi \, dx = \int_{\partial \Omega} \frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{n}}\, dS.$

ϕ

$\phi$

\int_{Ω} Δ ϕ d x = 0.

$\int_\Omega \Delta\phi\, dx = 0.$

ϕ

$\phi$

Δ ϕ = f

$\Delta \phi = f$

\int_{Ω} f d x = 0.

$\int_\Omega f\, dx = 0.$

1 \cdot b = 0

$\mathbf{1} \cdot b = 0$ , pois ambos estão expressando o fato de que o valor médio de e, portanto , , sobre o domínio deve ser zero.

f

$f$

b

$b$

— Ben
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John, muito obrigado por esta resposta incrível! Ele fornece uma visão clara de como funciona. Eu senti que há um problema para a condição periódica, mas não consegui apontar o dedo. Obrigado novamente.

— Ondřej Čertík

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Eu sei que faz 2 anos .. mas aqui está um exemplo da física para martelá-lo em casa. Considere que você está resolvendo a equação de Poisson: para potenciais eletrostáticos (ϕ) com o lado direito: E ρ (a densidade de carga) é especificada em toda a grade pontos.

\nabla^{2} ϕ = f

$\nabla^2\phi =f$

f = (- ρ / ε o)

$f=(-ρ/εo)$

Instrução: Para solução periódica, a condição ∫ρdv = 0 (descrita por Ben acima) define o sistema como neutro em rede. Essa é uma boa maneira (física) de pensar no valor médio de f na caixa periódica.

Agora vamos testar esta afirmação. Para condições de contorno periódicas, a integral do campo Elétrico deve ser zero sobre a superfície da caixa (você sempre pode encontrar pares de pontos na superfície da caixa cancelando-se na integral).

Então, pelo teorema da divergência (lei de Gauss), a caixa deve ser neutra e é isso que nos propusemos a provar.

\oint_{S} E_{n} d A = \frac{1}{ε_{0}} Q_{i n s i d e} = 0

$\oint_S {E_n dA = \frac{1}{{\varepsilon _0 }}} Q_{inside} =0$

Um pouco de física aqui, mas acho que fornece um bom reforço para a discussão aqui.

— Ajay Muralidharan
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Precisa ter cuidado especificamente na geração de método de soluções manufaturadas para a equação de Poisson. Como a definição do termo de origem deve satisfazer a forma forte do PDE, bem como a forma fraca do PDE. A derivação dada acima é basicamente usando a forma fraca do PDE. Em outras palavras, existe uma relação entre o gradiente da solução na fronteira e o termo de origem integral no domínio.

— Hasbestein
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