Papel das condições de contorno (por exemplo, periódicas) na equação de Poisson


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Dada a equação de Poisson 3D e o lado direito e o domínio, sou livre para impor quaisquer condições de contorno (BC) à função , ou eles precisam ser de alguma forma consistentes com o lado direito? Em particular, se eu impor BC periódico, haverá exatamente uma solução para qualquer lado direito?

2ϕ(x,y,z)=f(x,y,z)
ϕ

Por exemplo, deixe: e resolvo em uma caixa . Agora qualquer solução deve ser uma soma de que: porque e é qualquer função harmônica (por exemplo, ). Corrigir?

f(x,y,z)=3π2sin(πx)sin(πy)sin(πz)
(0,1)×(0,1)×(0,1)ϕ0+ϕ1
ϕ0(x,y,z)=sin(πx)sin(πy)sin(πz),
2ϕ0=fϕ12ϕ1=0

Se eu impor zero o Dirichlet BC, então é a única solução, porque satisfaz o BC, satisfaz a equação e a solução deve ser única. Corrigir?ϕ0

E se eu impor BC periódico? Isso significa que haverá alguma função harmônica tal que satisfaça o BC periódico e resolva a equação? O que é isso explicitamente neste caso?ϕ1ϕ0+ϕ1ϕ1


Tecnicamente, essa pergunta é mais apropriada para math.SE.
precisa saber é o seguinte

Eu não o mencionei explicitamente na pergunta, mas presumo implicitamente no contexto de um solucionador numérico baseado em elementos finitos (é por isso que estou interessado na resposta), mas a pergunta em si é de fato geral.
Ondřej Čertík

Respostas:


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De uma perspectiva numérica, talvez seja mais fácil discutir as discretizações diretamente.

Para a equação de Poisson com condições de contorno homogêneas de Dirichlet, existe uma solução exclusiva para qualquer lado direito. Uma vez discretizada, a equação pode ser escrita na forma , onde é a discretização padrão do operador 3D Laplaciano com limite de Dirichlet é uma discretização padrão de . Como é definitivo positivo, é invertível e o sistema terá uma solução única para qualquer e, portanto, qualquer .Ax=bAbfAbf

Obviamente, existem problemas comuns com a subamostragem; se dois valores diferentes de dão origem à mesma discretização devido ao uso de uma grade grossa ou devido a descontinuidades em , pode haver alguma ambiguidade sobre qual sistema está realmente sendo resolvido. Mas, desde que a discretização de seja bem-comportada, uma solução única e significativa existirá.fff

A situação é um pouco mais complicada no caso de condições de contorno periódicas porque a discretização padrão do operador 3D Laplaciano com limite periódico é semidefinida positiva e possui um núcleo unidimensional compreende soluções da forma com constanteKxCC

Como ainda é simétrico no caso periódico, temos o e, portanto, não terá uma solução, a menos que , onde é o vetor que consiste em todos os 1s. Isso fornece a condição de consistência para o lado direito de forma discreta.ARangeA=KAx=b1b=01

Observe que, analiticamente, existe uma maneira um pouco mais simples de ver isso. Lembre-se de que, para , onde é o nosso domínio, temos Se estipularmos uma condição de limite periódica em , o termo no lado direito desaparecerá e ficaremos com Portanto, se satisfaz , segue-se imediatamente que devemos ter Este é o analógico analítico deϕC2(Ω)Ω

ΩΔϕdx=ΩϕndS.
ϕϕ Δ ϕ = f Ω f
ΩΔϕdx=0.
ϕΔϕ=f1b = 0 f b
Ωfdx=0.
1b=0, pois ambos estão expressando o fato de que o valor médio de e, portanto , , sobre o domínio deve ser zero.fb

John, muito obrigado por esta resposta incrível! Ele fornece uma visão clara de como funciona. Eu senti que há um problema para a condição periódica, mas não consegui apontar o dedo. Obrigado novamente.
Ondřej Čertík

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Eu sei que faz 2 anos .. mas aqui está um exemplo da física para martelá-lo em casa. Considere que você está resolvendo a equação de Poisson: para potenciais eletrostáticos (ϕ) com o lado direito: E ρ (a densidade de carga) é especificada em toda a grade pontos.

2ϕ=f
f=(ρ/εo)

Instrução: Para solução periódica, a condição ∫ρdv = 0 (descrita por Ben acima) define o sistema como neutro em rede. Essa é uma boa maneira (física) de pensar no valor médio de f na caixa periódica.

Agora vamos testar esta afirmação. Para condições de contorno periódicas, a integral do campo Elétrico deve ser zero sobre a superfície da caixa (você sempre pode encontrar pares de pontos na superfície da caixa cancelando-se na integral).

Então, pelo teorema da divergência (lei de Gauss), a caixa deve ser neutra e é isso que nos propusemos a provar.

SEndA=1ε0Qinside=0

Um pouco de física aqui, mas acho que fornece um bom reforço para a discussão aqui.


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Precisa ter cuidado especificamente na geração de método de soluções manufaturadas para a equação de Poisson. Como a definição do termo de origem deve satisfazer a forma forte do PDE, bem como a forma fraca do PDE. A derivação dada acima é basicamente usando a forma fraca do PDE. Em outras palavras, existe uma relação entre o gradiente da solução na fronteira e o termo de origem integral no domínio.

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