Limitando o erro relativo da derivada dado erro relativo da função

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Suponhamos que uma função pode ser calculado de tal modo que o limite do erro relativo é ou seja, em que e são, respectivamente, o valor calculado e exacta e $f$ $R$ $f^-(x) = f(x)(1+r)$ $f^-$ $f$ $f$ $|r| \leq R$

Quero obrigado o erro relativo das seguintes aproximações derivados em termos de e para um general $h$ $R$ $f$

\begin{aligned} f^{^{'}} (x) & \approx \frac{f (x + h) - f (x - h)}{2 h} \\ f^{^{″}} (x) & \approx \frac{f (x + h) - 2 f (x) + f (x - h)}{h^{2}} \end{aligned}

$\begin{align*} f^{'}(x) &\approx \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}\\ f^{''}(x)&\approx \frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2} \end{align*}$

Em Ralston e Rabinowitz, os limites são $\frac{R}{h}$ e $\frac{4R}{h^2}$ respectivamente. Mas isso não foi comprovado e foi mencionado de passagem como parte de uma explicação sobre a extrapolação de Richardson.

Alguma idéia em sua prova?

error-estimation

— smilingbuddha
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5

As fórmulas que você forneceu não incluem os dois termos no erro - você pode ter um erro devido à imprecisão na avaliação de e também ao erro de truncamento ( é muito grande.) No caso extremo, (avaliação exata da função), as fórmulas listadas gerariam 0 erros, mas ainda haverá um erro de truncamento a ser considerado. É um bom exercício derivar as fórmulas para o erro de truncamento e o erro devido a avaliações de funções imprecisas e depois ver como o erro total varia com .

f

$f$

h

$h$

R = 0

$R=0$

h

$h$

— precisa

1

Ajudaria se você pudesse dar uma declaração mais concreta, ou pelo menos uma referência exata (teorema e página), para esse limite.

— Christian Clason

1

Esse teorema foi mal interpretado pelo autor da pergunta ou há um erro no livro referenciado. Considere o seguinte exemplo de contador:

f (x) = 100 + x

$f(x) = 100+x$

h = 0.01

$h=0.01$

R = 0.01

$R = 0.01$

Em o erro absoluto em cada avaliação de função é , então temos No pior cenário, os dois termos de erro têm o mesmo sinal e não são cancelados. O erro relativo da aproximação derivada pode, portanto, ser de até , o que é muito maior que . $x=0$ $100*0.01=1$

f^{' -} (0) = \frac{f^{-} (h) - f^{-} (- h)}{2 h} = \frac{(100 + 0.01) \pm 1 - ((100 - 0.01) \pm 1)}{0.02}

$f'^-(0) = \frac{f^-(h) - f^- (-h)}{2h} = \frac{(100+0.01)\pm 1 - ((100-0.01) \pm 1)}{0.02}$

⟹ f^{' -} (0) = \frac{0.02}{0.02} \pm \frac{1}{0.02} \pm \frac{1}{0.02}

$\implies f'^-(0) = \frac{0.02}{0.02} \pm \frac{1}{0.02}\pm \frac{1}{0.02}$

100

$100$

R / h = 1

$R/h = 1$

Até onde eu sei, não há limite para o erro relativo de um geral, pois ao escolher uma função da forma , o erro relativo na aproximação derivada sempre pode ser aumentado simplesmente aumentando . $f$ $f(x) = n+x$ $n$

Por outro lado, podemos calcular um limite dependente de . O limite do erro absoluto para e suficientemente pequeno é: Prova: onde Taylor expandimos torno de e negligenciamos os termos da ordem ou ou superior, já que e são pequenos. Da mesma forma Portanto $f$ $h$ $R$

f^{' -} (x) = \frac{f (x + h) - f (x - h)}{2 h} \pm \frac{f (x) R}{h}

$f'^-(x) = \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} \pm \frac{f(x)R}{h}$

f^{-} (x + h) = (f (x) + h f^{'} (x)) (1 \pm R)

$f^-(x+h) = (f(x)+hf'(x))(1 \pm R)$

⟹ f^{-} (x + h) = f (x) + h f^{'} (x) \pm R f (x)

$\implies f^-(x+h) =f(x)+hf'(x)\pm Rf(x)$

f

$f$

x

$x$

h R

$hR$

h^{2}

$h^2$

h

$h$

R

$R$

f^{-} (x - h) = f (x) - h f^{'} (x) \pm R f (x)

$f^-(x-h) = f(x) - hf'(x) \pm Rf(x)$

f^{' -} (x) = \frac{2 h f^{'} (x) \pm R f (x) \pm R f (x)}{2 h}

$f'^-(x) = \frac{2hf'(x) \pm Rf(x) \pm Rf(x)}{2h}$

⟹ f^{' -} (x) = f^{'} (x) \pm \frac{R f (x)}{h}

$\implies f'^-(x) =f'(x) \pm \frac{Rf(x)}{h}$ onde mais uma vez consideramos o pior cenário, no qual os erros se somam.

O limite do erro relativo é, portanto, dependente de e pode ser expresso como $f(x)$

f^{' -} (x) = f^{'} (x) (1 \pm \frac{R f (x)}{h f^{'} (x)})

$f'^-(x) = f'(x)\left(1\pm\frac{Rf(x)}{hf'(x)}\right)$

Da mesma forma, temos

f^{″ -} (x) = f^{″} (x) (1 \pm \frac{4 R f (x)}{h^{2} f^{″} (x)})

$f''^-(x) = f''(x)\left(1 \pm \frac{4Rf(x)}{h^2f''(x)}\right)$

— SimonSciComp
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É claro que se erro então o truncamento de torna-se dominante em comparação com o termo de

h ≫ R

$h\gg R$

O (h^{2})

$O(h^2)$

O (R / h)

$O(R/h)$

— SimonSciComp

ahh, eu esqueci completamente essa recompensa! De qualquer forma, isso parece cobri-lo muito bem.

— David Z

-1

Para responder sua pergunta direta (e não atender a Brian Borchers, comente o erro de truncamento):

Pela definição que você tem para , seu erro relativo , e sua definição não diz isso explicitamente, mas não é constante, portanto, o erro relativo emé . $f^-$ $|(f^--f)/f|\leq R$ $r$ $|f^-(x+h)-f^-(x-h)|$ $\leq 2R$

Isso leva diretamente aos erros relativos de serem e da mesma forma que seja . $f^{'-}$ $R/h$ $f^{''-}$ $4R/h^2$

— Mark Hurd
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Isso fornece um limite para o valor de , não no erro.

| f^{' -} |

$|f'^-|$

f^{' -}

$f'^-$

| f^{' -} - f^{'} |

$|f'^- - f'|$

— Christian Clason