Qual é a diferença entre o MEF implícito e o MEF explícito?

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Qual é a diferença entre o MEF explícito e o MEF implícito exatamente? De acordo com o post aqui , parece que a única diferença é se a integração de tempo implícita ou explícita é usada.

Pelo que me lembro de um livro que li, o FEM implícito é onde a massa não é agrupada nos nós.

Quais são as definições exatas do MEF explícito e implícito?

finite-element implicit-methods explicit-methods

— Fei Zhu
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O método FEM para problemas transitórios geralmente usa o método de linhas, ou seja, a discretização espacial é dissociada da discretização do tempo: onde é o vetor de quantidades nodais, assumidas como funções desconhecidas do tempo. Sob essa suposição, os PDE no espaço-tempo em são reduzidos (discretizados) para os EDOssomenteem , usando a maquinaria usual do MEF para problemas estáticos.

u^{h} (x, t) = Φ (x)^{T} U (t)

$\begin{equation} u^h(x,t) = \mathbf{\Phi}(x)^T \, \mathbf{U}(t) \end{equation}$

U (t)

$\mathbf{U}(t)$

(x, t)

$(x,t)$

t

$t$

Como já apontado por outras respostas, falamos do MEF explícito ou implícito com referência ao esquema de integração de tempo desses ODEs.

M \ddot{U} (t) + F_{i} (U (t)) = F_{e} (t)

$\begin{equation} \mathbf{M} \ddot{\mathbf{U}}(t) + \mathbf{F}_\text{i}(\mathbf{U}(t)) = \mathbf{F}_\text{e}(t) \end{equation}$

F_{i}

$\mathbf{F}_\text{i}$

F_{e}

$\mathbf{F}_\text{e}$

F_{i} (t) = K U (t)

$\mathbf{F}_\text{i}(t) = \mathbf{K}\, \mathbf{U}(t)$

$\ddot{\mathbf{U}}(t)$

M \ddot{U} (t) = - F_{i} (U (t)) + F_{e} (t)

$\begin{equation} \mathbf{M} \ddot{\mathbf{U}}(t) = -\mathbf{F}_\text{i}(\mathbf{U}(t)) + \mathbf{F}_\text{e}(t) \end{equation}$

F_{i} (U (t)) = b

$\mathbf{F}_\text{i}(\mathbf{U}(t)) = \mathbf{b}$

$\ddot{\mathbf{U}}(t)$

— Stefano M
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Sim, é a integração do tempo, mas também significa que:

Você precisa resolver um sistema linear do tipo Ax = b no esquema implícito, onde, como no esquema explícito, a matriz de massa agrupada possui apenas entradas diagonais, de modo que inv (M) é trivial.
Sua etapa no esquema explícito é limitada pelos critérios de estabilidade da CFL. Esquemas implícitos são incondicionalmente estáveis (embora, na prática, você ainda precise de um intervalo de tempo razoável para obter precisão)

Normalmente, problemas em que os efeitos inerciais são importantes (por exemplo, propagação de ondas) são resolvidos por esquemas explícitos, onde problemas quase estáticos geralmente usam um esquema implícito. No entanto, existem exceções.

— stali
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Em esquemas implícitos, não apenas surgem sistemas lineares de equações, mas (por exemplo, na modelagem de fluidos) são obtidos sistemas não lineares de equações.

— Misery

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Os termos "explícito" e "implícito" surgem na discretização do tempo, e esses termos já são usados na literatura sobre equações diferenciais ordinárias (isto é, não são específicas para o método dos elementos finitos). Vale a pena dar uma olhada em um livro que discute a solução numérica de EDOs, por exemplo, Hairer & Wanner.

— Wolfgang Bangerth
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