Qual é o propósito de usar a integração por partes para derivar uma forma fraca para discretização do MEF?

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Ao passar da forma forte de uma PDE para a forma FEM, parece que sempre se deve fazer isso declarando primeiro a forma variacional. Para fazer isso, você multiplica a forma forte por um elemento em algum espaço (Sobolev) e integra-se na sua região. Isso eu posso aceitar. O que não entendo é por que também é preciso usar a fórmula de Green (uma ou várias vezes).

Eu tenho trabalhado principalmente com a equação de Poisson, por isso, se tomarmos isso (com condições de contorno homogêneas de Dirichlet) como exemplo, ie

\begin{aligned} - \nabla^{2} u & = f, u \in Ω \\ u & = 0, u \in \partial Ω \end{aligned}

$\begin{align} -\nabla^2u &= f,\quad u\in\Omega \\ u &= 0, \quad u\in\partial\Omega \end{align}$

alega-se que a maneira correta de formar a forma variacional é

\begin{aligned} \int_{Ω} f v d \vec{x} & = - \int_{Ω} \nabla^{2} u v d \vec{x} \\ = \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d \vec{x} - \int_{\partial Ω} \vec{n} \cdot \nabla u v d \vec{s} \\ = \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d \vec{x} . \end{aligned}

$\begin{align} \int_\Omega fv\,\mathrm{d}\vec{x} &= -\int_\Omega\nabla^2 uv\,\mathrm{d}\vec{x} \\ &=\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,\mathrm{d}\vec{x} - \int_{\partial\Omega}\vec{n}\cdot\nabla u v\,\mathrm{d}\vec{s} \\ &=\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,\mathrm{d}\vec{x}. \end{align}$

Mas o que me impede de usar a expressão na primeira linha, não é também uma forma variacional que pode ser usada para obter uma forma FEM? Não corresponde às formas bilinear e linear $b(u,v)=(\nabla^2 u, v)$ e $l(v)=(f, v)$ ? O problema aqui é que, se eu usar funções de base linear (funções de forma), estarei com problemas porque minha matriz de rigidez será a matriz nula (não invertível)? Mas e se eu usar funções de forma não lineares? Ainda preciso usar a fórmula de Green? Se eu não precisar: é aconselhável? Caso contrário, tenho uma formulação variacional, mas não fraca?

Agora, digamos que eu tenho um PDE com derivadas de ordem superior, isso significa que existem muitas formas variacionais possíveis, dependendo de como eu uso a fórmula de Green? E todos eles levam a aproximações (diferentes) do MEF?

pde finite-element elliptic-pde

— cristão
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Relacionado: scicomp.stackexchange.com/questions/667/…

— Paul

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Resposta curta:

Não, você não precisa fazer a integração para determinados FEMs. Mas no seu caso, você tem que fazer isso.

Resposta longa:

Digamos que é a solução de elementos finitos. Se você escolher o polinômio linear por partes como base, tomar nela fornecerá uma distribuição de ordem 1 (pense em derivar uma função de passo Heaviside) e a integração de multiplicando por somente faz sentido quando você tomá-lo como um par dualidade ao invés de um produto -câmarasdear. Você não obterá uma matriz nula, o teorema da representação de Riesz diz que existe um elemento em $u_h$ $\Delta$ $-\Delta u_h\in H^{-1}$ $v$ $L^2$ $\varphi_{-\Delta u_h} \in H^1_0$ pode caracterizar o par dualidade pelo produto interno em : A integração de partes elemento por elemento para iluminará esse par de dualidades: para um elemento nessa triangulação $H^1$
$⟨ - Δ {você}_{h}, v ⟩_{H^{- 1}, H_{0 0}^{1}} = \underset{produto interno em H^{1}}{\underset{⏟}{\int_{Ω} \nabla φ_{- Δ {você}_{h}} \cdot \nabla v}} .$ $\langle-\Delta u_h ,v \rangle_{H^{-1},H^1_0} = \underbrace{\int_{\Omega}\nabla \varphi_{-\Delta u_h} \cdot \nabla v}_{\text{inner product in }H^1}.$ $u_h$ $T$ este informa que deve incluir, inter-elemento fluxo salto na sua representação dualidade par, notar a integração no limite de cada elemento é também um par dualidade entre e . Mesmo se você usar base quadrática, que tem um não desaparecidoem cada elemento, ainda não poderá escrever como um produto interno, devido à presença desse salto de fluxo entre elementos. $\int_{Ω} \nabla {você}_{h} \cdot \nabla v = - \sum_{T} (\int_{T} Δ {você}_{h} v + \int_{\partial T} \frac{\partial {você}_{h}}{\partial n} v d S),$ $\int_{\Omega}\nabla u_h \cdot \nabla v = -\sum_{T}\left(\int_{T} \Delta u_h\,v + \int_{\partial T}\frac{\partial u_h}{\partial n}v\,dS\right),$ $-\Delta u_h$ $H^{1/2}$ $H^{-1/2}$ $\Delta$ $(\Delta u, v)$
$W^{k,p}$ $W^{k,p}$ $H^1$ $H^2$ $H^2$ $\Delta u_h$
${\begin{cases} σ = - \nabla você, \\ \nabla \cdot σ = f . \end{cases}$ $\begin{cases} \boldsymbol{\sigma} = -\nabla u, \\ \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} = f. \end{cases}$ $J (v) =__σ + \nabla você {__}_{{eu}^{2} Ω}^{2} +__\nabla \cdot σ - f {__}_{{eu}^{2} Ω}^{2},$ $\mathcal{J}(v) = \|\boldsymbol{\sigma} + \nabla u\|_{L^2{\Omega}}^2 + \|\nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} - f\|_{L^2{\Omega}}^2,$ sustentando o mesmo espírito do funcional Ritz-Galerkin, a formulação de elementos finitos de minimizar o funcional acima em um espaço de elementos finitos não requer integração por partes.

— Shuhao Cao
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$H^2$ $H^2$

— Reid.Atcheson
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1

Você está dizendo que as funções de forma linear fornecem uma solução para a formulação FEM que não está em

H^{2}

$H^2$

L^{2}

$L^2$

1

O que você está dizendo é essencialmente certo. Quanto ao PDE superior à segunda ordem, você não precisa necessariamente usar espaços com maior regularidade, pois escrever a formulação combinada (consulte a resposta de Shuhao) pode ajudar. Você também pode usar outras técnicas, como penalização por salto, para evitar essa dificuldade. Para uma resposta clássica do MEF, sim, você precisaria de uma maior regularidade.

— Reid.Atcheson

2

Deixe-me enfatizar a importância da simetria. Se um operador diferencial é auto-adjunto, espero terminar com uma matriz simétrica. Sem integração por partes, este não será o caso.

— Stefano M

1

Os benefícios computacionais foram meu principal pensamento ao acrescentar isso, mas também existem fortes benefícios teóricos da simetria (além de provas mais fáceis de fatos que provavelmente ainda se aplicam no caso elíptico, mesmo que a discretização seja não simétrica)?

— precisa saber é o seguinte

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Excelentes respostas já nesta página, mas ainda há um (pequeno) ponto ausente.

O OP perguntou:

Agora, digamos que eu tenho um PDE com derivadas de ordem superior, isso significa que existem muitas formas variacionais possíveis, dependendo de como eu uso a fórmula de Green? E todos eles levam a aproximações (diferentes) do MEF?

A integração por peças (da maneira correta ) é importante quando você tem condições de contorno do tipo Neumann. De fato, é pelo ibp que você leva em consideração o Neumann bc em sua formulação variacional. A forma do Neumann bc depende de como você se integra por partes, cf. esta resposta sobre integração por partes em elasticidade linear. Assim, mesmo para os PDE elípticos de segunda ordem, a integração por partes deve ser realizada de uma determinada maneira, a fim de recuperar uma formulação variacional válida para Neumann ou condições de contorno mistas. (E isso, é claro, independentemente do fato de você discretizar pelo FEM).

Na física matemática, onde o Neumann bc tem um significado bem definido (fluxo de calor, tensão ...), a integração por partes é importante para manter a interpretação correta dos resultados. Mesmo para condições homogêneas de Dirichlet e MEF, isso é verdade, pois se usarmos um método multiplicador de Lagrange para impor os bc, os multiplicadores se tornarão quantidades físicas, como fluxos ou forças concentrados.

— Stefano M
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