Confusão sobre Quantum Monte Carlo

Minha pergunta é sobre a extração de observáveis dos métodos do QMC, conforme descrito nesta referência .

Entendo a derivação formal de vários métodos do QMC, como o Path Integral Monte Carlo. No entanto, no final do dia, ainda estou confuso sobre como usar efetivamente essas técnicas.

A idéia básica da derivação dos métodos Quantum MC é discretizar, através da aproximação de Trotter, um operador que pode ser a matriz de densidade ou o operador de evolução no tempo de um sistema quântico. Em seguida, obtemos um sistema clássico com uma dimensão adicional que pode ser tratada com métodos de MC.

Dado que pode interpretar no operador quântico tanto como uma temperatura inversa e um tempo imaginário, o objectivo destes algoritmos deve ser o de calcular uma aproximação desse operador. De fato, se medirmos diretamente quantidades das várias configurações amostradas ao longo de uma simulação, no caso de "temperatura inversa", teremos amostras respeitando uma densidade de probabilidade baseada em , onde $\beta$ $e^{−\beta\hat{H}}$ $\beta/M$ $M$ é o número de etapas discretas introduzidas na decomposição do Trotter. Em vez disso, no caso do "tempo imaginário", obteríamos amostras em vários intervalos de tempo distintos, obtendo assim médias ao longo do tempo. Nós também não obter quantidades como em um determinado momento , com algum operador observável. $\langle\psi_t|\hat{A}|\psi_t\rangle$ $t$ $\hat{A}$

No entanto, na minha opinião, as quantidades que coletamos diretamente desse tipo de simulação (extraídas de (5.34) do documento, página 35):

\bar{O} \equiv ⟨ \hat{O} (X) ⟩ \equiv \frac{1 1}{N!} \sum_{P} \int O (X) π (X, P) d X

$\bar{O} \equiv \langle \hat{O}(X) \rangle \equiv \frac{1}{N!} \sum_P \int O(X) \pi(X,P) dX$

não podem ser quantidades relacionadas ao sistema quântico, dada a dimensão adicional. Em vez disso, as quantidades quânticas corretas podem ser calculadas através de fórmulas como (5.35), que contém em toda amostra uma cadeia inteira de configurações simuladas em : $M$

\frac{E_{t h}}{N} = ⟨ \frac{d}{2 τ} - \frac{m}{2 (ℏ τ)^{2} M N} \sum_{j = 1 1}^{M} (R_{j} - R_{j + 1 1})^{2} + \frac{1 1}{M N} \sum_{j = 1 1}^{M} V (R_{j}) ⟩

$\frac{E_{th}}{N}= \left\langle \frac{d}{2 \tau} - \frac{m}{2 (\hbar \tau)^2MN } \sum_{j=1}^{M} (\mathbf{R}_j -\mathbf{R}_{j+1})^2 + \frac{1}{MN} \sum_{j=1}^{M} V(\mathbf{R}_j) \right\rangle$

Estou certo de que uma série de simulações do QMC é necessária para extrair informações úteis sobre um determinado observável?

monte-carlo quantum-mechanics

— Pippo
fonte

Desde que eu entenda você corretamente, parece-me que as duas abordagens são equivalentes se o sistema for ergódico.

— Daniel Shapero

@DanielShapero O que você quer dizer exatamente com ser equivalente?

— Pippo

Eu apenas pesquisei o caminho integral de Monte Carlo e você deve realmente ignorar o que eu disse, é irrelevante.

— Daniel Shapero

Eu não acho que exista alguma dúvida em relação ao Quantum Monte Carlo; é muito bem compreendido e rigorosamente apoiada teoricamente ...

— Nick

O que você quer dizer com

é um número e se

é uma discretização como você disse, é um conjunto. É

pretende ser o número trotter?

β / M

$\beta/M$

β

$\beta$

M

$M$

M

$M$

— Dan

Respostas:

Há muita confusão na sua pergunta. O mais importante para mim é que você sente falta do QMC "ingênuo", que é o cálculo de integrais de Monte-Carlo em algum método variacional e difusão. Monte-Carlo são métodos diferentes com argumentação e derivação diferentes.

O ponto principal, porém, é sobre o tempo imaginário. Na difusão, o tempo imaginário de Monte-Carlo é um truque para converter a equação de Schroedinger independente do tempo em equação do tipo difusão dependente do tempo, cuja solução no infinito "tempo" limite tende a uma solução da equação original de Schroedinger. É isso aí. O tempo no DQMC não é real.

Uma explicação relativamente boa, porém simples, é dada em Reviews of Modern Physics, 73, 33 (2001) .

PS A propósito, o que você quer dizer com "aproximação do trotador" na sua pergunta?

— Misha
fonte

Não acho que exista essa confusão, é minha pergunta, pois nunca me referi ao Diffusion MC, cuja idéia é bem diferente, embora também comece com uma discretização do operador densidade / evolução do tempo (mas termina com uma interpretação diferente de isto).

— Pippo

e^{- β \hat{H}}

$e^{−\beta\hat{H}}$

e^{- τ \hat{H}} \cdot e^{- τ \hat{H}} \cdot . . . \cdot e^{- τ \hat{H}}

$e^{−\tau\hat{H}}\cdot e^{−\tau\hat{H}}\cdot ... \cdot e^{−\tau\hat{H}}$

τ

$\tau$

β / M

$\beta/M$

No final, resolvi minha questão perguntando diretamente ao professor no final do exame (que correu muito bem: D) e, sim, não podemos vincular diretamente quantidades simuladas às quantum desejadas.

— Pippo

@ Pipip Então, o que você realmente quis dizer foi Monte-Path-Integral Monte Carlo. Ainda não vejo você mencionar isso na sua pergunta.

— M16:

Segunda linha: "Entendo a derivação formal de vários métodos do QMC, como Path Integral Monte Carlo". ;)

— Pippo

Você está certo de que as pessoas usam técnicas de Monte Carlo para calcular médias estatísticas (em oposição a informações resolvidas no tempo) o tempo todo. Não é necessariamente verdade que é isso que deve ser calculado: depende do tipo de informação que você deseja. Talvez você tenha uma força externa dependente do tempo, por exemplo, e queira ver como o sistema evolui em resposta.

— Dan
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Obrigado por responder. Vou tentar dar mais detalhes do que estou perguntando. Para me tornar mais compreensível, vou me referir a este trabalho que eu encontrei na Internet: itp.phys.ethz.ch/education/fs12/cqp/chapter05.pdf

— Pippo

A idéia básica da derivação dos métodos Quantum MC é discretizar, por aproximação de Trotter, um operador que pode ser a matriz de densidade ou o operador de evolução no tempo de um sistema quântico; dessa maneira, obtemos um sistema clássico com uma dimensão adicional que pode ser tratada com métodos de MC.

— Pippo

M

$M$ configurações

— Pippo

Aí vem minha pergunta: estou certo com minha interpretação dos métodos Quantum Monte Carlo?

— Pippo

Também vou editar minha pergunta original.

— Pippo