F (x) = 0 vs. || F (x) || ^ 2-> min

Em muitas áreas de aplicação, é necessário resolver um sistema de equações não lineares Por vezes, a formulação ‖ F ( x ) ‖ 2 → min é usada. Claramente, cada solução x de F ( x ) = 0 é também uma solução do segundo problema; o inverso também é verdadeiro (se houver uma solução).

$$F(x) = 0.$$ $$\|F(x)\|^2 \to\min$$ $\hat{x}$$F(x)=0$

A questão é se alguém pode dizer a priori qual formulação é mais adequada para um determinado problema. As pessoas já trabalharam nisso antes?

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Um exemplo

Considere a função Tem as três raízes x 1 = ( 1 , 0 ) (verde na figura abaixo), x 2 = ( - 0,5 ,

$$F(x, y) = \begin{pmatrix} x^3 - 3x y^2 - 1\\ 3 x^2 y - y^3 \end{pmatrix}.$$ $x_1=(1,0)$(azul),x3=(-0,5,-$x_2=(-0.5,\sqrt{3}/2)$(vermelho). Ao aplicar o método de Newton aF, o ponto de partida determinará para qual das três soluções convergimos.$x_3=(-0.5,-\sqrt{3}/2)$$F$

Quanto mais escura a cor, mais iterações de Newton eram necessárias. Os fractais de Newton típicos aparecem.

Ao encontrar pontos critial , novamente com o método de Newton, o quadro é um pouco diferente.$\nabla (\|F(x)\|^2) = 0$

$(0,0)$$\|F(x)\|^2$$F(x)=0$

$\min$

Você usou gráficos agradáveis ​​na pergunta, mas acho que respondi à pergunta com bastante clareza nesta resposta , que contém outro exemplo.

Para resumir, começamos com um problema de otimização que possuía uma solução única que poderíamos garantir que um método encontraria. Nós reformulamos como um problema não linear de localização de raízes que tinha uma solução única que poderíamos identificar localmente, mas um método de busca de raízes (como Newton) pode estagnar antes de alcançá-lo. Em seguida, reformulamos o problema de localização raiz como um problema de otimização que tinha várias soluções locais (nenhuma medida local pode ser usada para identificar que não estamos no mínimo global).

Em geral, toda vez que convertemos um problema de otimização em busca de raiz ou vice-versa, tornamos os métodos disponíveis e as garantias de convergência associadas mais fracas. A mecânica real dos métodos geralmente é muito semelhante, portanto é possível reutilizar muito código entre solucionadores não lineares e otimização.

Sinta-se à vontade para refinar sua pergunta se você quiser fazer algo mais específico.