Modos próprios do Laplaciano em uma região semicircular com método de diferenças finitas

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O cálculo dos modos próprios de uma membrana semicircular se reduz ao seguinte problema de valor próprio

\nabla^{2} u = k^{2} u,

$\nabla^2u=k^2u\;,$

onde a região de interesse é um semicírculo definido por e . $r\in[0,1]$ $\varphi\in[0,\pi]$

É apropriado trabalhar em coordenadas cilíndricas, onde o Laplaciano é escrito como

\nabla^{2} u = \frac{\partial^{2} u}{\partial r^{2}} + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} u}{\partial φ^{2}} .

$\nabla^2u=\frac{\partial^2u}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial\varphi^2}.$

As condições de contorno fixam o valor de no limite do semicírculo, onde . $u$ $u=0$

Primeiro, fazemos uma discretização de com , onde $u$ $u_{ij}=u(r_i,\varphi_j)$ e $r_i=(i+\frac{1}{2})h_r$ e,. Esta é umamalhacentralizada. $\varphi_j=(j+\frac{1}{2})h_\varphi$ $i,j=0\dots N-1$ $h_r=1/N$ $h_r=\pi/N$

Em seguida, usamos uma aproximação de diferença finita para o Laplaciano e obtemos

\begin{array}{rcl} \nabla^{2} u & \approx & \frac{u_{i + 1, j} - 2 u_{i, j} + u_{i - 1, j}}{h_{r}^{2}} + \frac{1}{i h_{r}} \frac{u_{i + 1, j} - u_{i - 1, j}}{2 h_{r}} + \\ + \frac{1}{(i h_{r})^{2}} \frac{u_{i, j + 1} - 2 u_{i, j} + u_{i, j - 1}}{h_{φ}^{2}} \\ = & k^{2} u_{i j} \end{array}

$\begin{eqnarray} \nabla^2u&\approx& \frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{h_r^2}+\frac{1}{ih_r}\frac{u_{i+1,j}-u_{i-1,j}}{2h_r}+ \\ &&+\frac{1}{(ih_r)^2}\frac{u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}}{h_{\varphi}^2}\\ &=&k^2u_{ij} \end{eqnarray}$

ou

\begin{array}{rcl} u_{i + 1, j} (1 + \frac{1}{2 i}) + u_{i - 1, j} (1 - \frac{1}{2 i}) \\ + \frac{1}{i^{2} h_{φ}^{2}} (u_{i, j + 1} + u_{i, j - 1}) + u_{i, j} (- 2 - \frac{2}{i^{2} h_{φ}^{2}} - k^{2} h_{r}^{2}) = 0 . \end{array}

$\begin{eqnarray} &&u_{i+1,j}\left(1+\frac{1}{2i}\right)+u_{i-1,j}\left(1-\frac{1}{2i}\right)\\ &&+\frac{1}{i^2h_{\varphi}^2}\left(u_{i,j+1}+u_{i,j-1}\right)+u_{i,j}\left(-2-\frac{2}{i^2h_{\varphi}^2}-k^2h_r^2\right)=0\;. \end{eqnarray}$

Como nossa malha é centralizada, temos que fazer a seguinte substituição na equação acima: . Essa substituição também nos ajuda a eliminar a singularidade de coordenadas para. $i\to i+\frac{1}{2}$ $i=0$

Condições de contorno em e podem ser todos tratados com o mesmo truque , onde montamos na fronteira $\varphi=0,\pi$ $r=0,1$

u_{i, j - 1} = - u_{i, j}

$u_{i,j-1}=-u_{i,j}$

u_{i, j + 1} = - u_{i, j}

$u_{i,j+1}=-u_{i,j}$

u_{i - 1, j} = - u_{i, j}

$u_{i-1,j}=-u_{i,j}$

u_{i + 1, j} = - u_{i, j} .

$u_{i+1,j}=-u_{i,j}.$

$u_{ij}$ $\vec v$ $\rm A$

A \vec{v} = k^{2} h_{r}^{2} \vec{v} .

${\rm A}{\vec v}=k^2h_r^2{\vec v}\;.$

A matriz é uma matriz real assimétrica e os autovalores e autovetores podem ser obtidos com uma rotina dgeevdo LAPACK.

Soluções analíticas podem ser facilmente obtidas pelo método de separação de variáveis

u (r, φ) = R (r) Φ (φ) .

$u(r,\varphi)=R(r)\Phi(\varphi)\;.$

Eles são

u (r, φ)_{n m} = \sin (n φ) J_{n} (\frac{ξ_{n}^{(m)}}{R} r),

$u(r,\varphi)_{nm}=\sin(n\varphi)J_n\left(\frac{\xi_n^{(m)}}{R}r\right)\;,$

J_{n}

$J_n$

n

$n$

ξ_{n}^{(m)}

$\xi_n^{(m)}$

m

$m$

J_{n}

$J_n$

ω_{n m} = \sqrt{- k^{2}} = \frac{ξ_{n}^{(m)}}{R} .

$\begin{equation} \omega_{nm}=\sqrt{-k^2}=\frac{\xi_n^{(m)}}{R}\;. \end{equation}$

$r=0$

Aqui está o gráfico da solução analítica para a primeira função própria:

Solução analítica para a primeira função própria.

O gráfico a seguir mostra a comparação dos resultados numéricos para três discretizações diferentes, tanto quanto meus recursos computacionais me permitem ir.

Comparação de soluções numéricas em diferentes discretizações $ N $.

$N^2$ $L^2(\vec{u}-\vec{u}_{analytical})/N^2$ $0.5$ $N$

Erro absoluto normalizado em função do número de pontos da grade $ N ^ 2

pde finite-difference eigensystem

— liberias
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A

$A$

h_{r}, h_{φ} \to 0

$h_{r}, h_{\varphi} \rightarrow 0$

A

$A$

N = 60

$N=60$

r = 0

$r=0$

r = 0

$r=0$

u (r = 0, φ) = 0

$u(r=0,\varphi)=0$

1

N

$N$

N

$N$

N

$N$

@ David Este é um teste simples de convergência que você quis dizer? Essa convergência (linear) é rápida o suficiente? Afinal, usamos a aproximação de segunda ordem para a primeira derivada.

— liberias 28/01

2

No interesse de ter pelo menos alguma resposta, parece que a análise que você tem acima está correta. As condições de contorno de primeira ordem afetam a precisão de uma discretização de segunda ordem (se estou lembrando o livro de LeVeque sobre aproximações de diferenças finitas corretamente; DavidKetcheson pode me ajudar com isso), então as soluções do problema discreto parecem estar convergindo para a solução do problema analítico na taxa apropriada.

— Geoff Oxberry
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Gilbert Strang também menciona em suas palestras que as condições de contorno de primeira ordem se propagam por toda a solução. Na verdade, estou me perguntando se esse tipo de comportamento próximo à origem é típico para coordenadas cilíndricas e possivelmente se origina na singularidade das coordenadas.

— Liberias

1

Tendo analisado a maior parte da análise e analisado as belas imagens, eles contam uma história convincente: a solução analítica não tem circularidade, mas sua solução numérica; a região central é curva.

Então, eu me concentraria diretamente no seu esquema de diferenças finitas. Ainda não consigo ver o que há de errado, mas talvez alguma parte da dependência angular das coordenadas não esteja completamente resolvida.

Duvido que seja a condição de contorno; ambas as soluções parecem ter zero em todos os limites. No entanto, poderia ser a natureza da condição, sendo uma derivada e não uma condição de valor.

— Phil H
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-3

Eu não entendo as condições de contorno.

Por que o menos?
$r=0$ $r=1$ $\varphi=0$ $\varphi=\pi$

Poderia dar mais detalhes, por favor?

— Giuseppe
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u (x)

$u(x)$

u_{1}

$u_1$

x = - a

$x=-a$

- u_{1}

$-u_1$

x = a

$x=a$

x = 0

$x=0$

0

$0$

r

$r$

φ

$\varphi$

φ = 0, π

$\varphi=0,\pi$

r = 0, 1

$r=0,1$