Por que o vazamento espectral surge em uma FFT?

Tentei pesquisar no Google e pesquisá-lo na Wikipedia, mas não obtive respostas além de 'é porque a frequência do sinal de entrada está entre duas caixas'.

Entendo que esse é o motivo, mas o que não consigo entender é por que o vazamento parece se estender a vários compartimentos adjacentes, em vez de apenas a um compartimento adjacente.

Para ilustrar o que estou falando, aqui estão alguns dados simulados (código no final da postagem):

Acima está o espectro da FFT (plotado em uma escala logarítmica) de uma onda senoidal de frequência 10. A taxa de amostragem é uma e o número de amostras é 100. O gráfico foi deslocado pela FFT. Claramente, existe apenas um pico no compartimento 10, e o restante está na ordem de erro numérico ou aproximadamente.

Este é o espectro de frequências a uma frequência gerada de 10,1. Claramente, há 'vazamento' em mais compartimentos do que apenas no compartimento imediatamente adjacente.

Este é o gráfico para uma frequência de 10,5.

Pergunta: Por que esse vazamento ocorre e por que ele se estende a todos os outros compartimentos, e não ao compartimento adjacente imediato?

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Código, para quem estiver interessado (código Python)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

xFreq = 10.5
xSize = 100.0
xPeriod = xSize/xFreq
x = np.linspace(1,xSize,xSize)

data = np.sin(2*np.pi*x/xPeriod)
fft = np.fft.fft(data)
fft = np.fft.fftshift(fft)

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
ax.plot(abs(fft), "o")
ax.set_yscale('log')
plt.show()

Alterei o xFreqvalor de 10.0para 10.5etc.

Uma FFT tem comprimento finito e, portanto, constitui uma janela retangular padrão em um fluxo de dados. Uma janela no domínio do tempo resulta em uma convolução no domínio da frequência com a transformação da janela. Observe que a transformação de uma janela retangular é uma função Sinc (sin (x) / x), que possui largura infinita. Não são apenas 2 caixas de largura. Assim, as ondulações da função Sinc aparecerão como "vazamento" longe de qualquer pico espectral que não seja perfeitamente periódico no comprimento da FFT.

A figura abaixo mostra parte da resposta em frequência da função sinc. Quando o tom é centralizado em uma das caixas, todos os outros pontos são alinhados com os nulos na resposta de frequência. Se não estiver centralizado em uma lixeira, é como mudar toda a resposta de frequência, o que faz com que as outras caixas caiam em porções não nulas da resposta de frequência.

Outra maneira de ver é que uma FFT é apenas um banco de filtros, onde cada piso da faixa de parada do filtro tem muitas ondulações e certamente não é infinito na atenuação a mais de um escaninho da frequência central. Algumas janelas (von Hann, etc.) Que não sejam retangulares têm faixas de parada mais baixas, que é uma das razões para seu uso popular.

hotpaw2A resposta é boa, mas eu gostaria de elaborar um pouco user5133o comentário de:

Obrigado por NÃO explicar o vazamento dizendo: "A FFT assume que sua sequência de entrada é periódica". Essa noção tola de "periodicidade assumida" é, infelizmente, repetida com muita frequência na literatura da DSP

e ao mesmo tempo responda a pergunta também. Observe que sou um especialista neste campo - fique à vontade para comentar, corrigir ou confirmar.

$\mathbb{Z}$$\{1,2,\dots, N\}$

$$X(\omega )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\,e^{-i\omega n}.$$

$N$$N$$\mathbb{Z}$

$${\displaystyle X_{k}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\cdot e^{-2\pi ikn/N},\quad k\in \mathbb {Z} \,}$$ $X(2\pi k/N)$$n$$\{1,2,\dots, N\}$$x[n]w[n]$$w$$n\in\{1,\dots,N\}$

Mas a transformação de Fourier de um produto é a convolução das transformadas de Fourier:

$$\mathcal{F}\{f \cdot g\}= \mathcal{F}\{f\}*\mathcal{F}\{g\}$$

$\text{sinc}$

$$\int_{-\infty}^\infty w(f)e^{-j\omega t} dt = \int_{-\tau}^{\tau} e^{-j\omega t}dt =2\tau \text{sinc}(\omega \tau)$$

$\text{sinc}$