Resolução de frequência FFT

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Estou tendo alguns problemas para entender a FFT. A resolução de frequência no espectro é calculada como

$\frac{\textrm{sampling rate}}{\textrm{number of FFT points}}$ ou $\frac{\textrm{sampling rate}}{\textrm{0.5 * number of FFT points}}$ ?

Pergunte isso porque o espectro é simétrico para entradas com valor real. Então, diga que eu tenho $f_s = 1000$ Hz e $N$ = 1024, em que $N$ é o número de pontos da FFT. Agora, é a resolução de frequência $\frac{1000 \textrm{ Hz}}{1024} = 0.9766$ Hz ou $\frac{1000 \textrm{ Hz}}{0.5 * 1024} = 1.9531$ Hz?

fft frequency-spectrum frequency

— argh
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Suponha que você tenha um sinal $x[n]$ com $n \in {0, 1, ... N - 1}$ . O DFT do mesmo tamanho é definido por:

X [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j \frac{2 π n k}{N}}

$X[k] = \sum_{n = 0}^{N-1} x[n] e^{-j\frac{\Large{2 \ \pi n k}}{N}}$

A resolução de frequência será quantos Hz cada compartimento DFT representa. Isto é, como você observou, dado por $\frac{f_s}{N}$ .

Se, por outro lado, você zerou seu sinal, de forma que $N_{zp}$ é melhor que $N$ , um termo mais adequado de granularidade de frequência é dado por $\frac{f_s}{N_{zp}}$

Pergunte isso porque o espectro é simétrico para entradas com valor real.

Isso é irrelevante. As resoluções / granularidades de frequência são fornecidas pelos itens acima.

o, digamos que eu tenho fs = 1000 Hz e N = 1024, onde N é o número de pontos da FFT. Agora, a resolução de frequência é 1000 Hz1024 = 0,9766 Hz ou 1000 Hz0,5 ∗ 1024 = 1,9531 Hz?

Se a sua frequência de amostragem $f_s = 1000$ Hz e você está fazendo uma $N=1024$ (mesmo tamanho), então sua resolução de frequência é $\frac{1000}{1024}$ , que é igual a 0,9766 Hz / bin. Se seu $N_{zp} = 1024$ (Comprimento da FFT após preenchimento zero), a granularidade da sua frequência é 0,9766 Hz / bin.

— Tarin Ziyaee
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Então, em outras palavras: eu posso zerar um sinal de N com outros N zeros e obter uma resolução de frequência "duas vezes melhor" sem custos, aproveitando a simetria da FFT de valor real?

— N4ppeL 6/03

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O termo "resolução" tem vários significados. Na óptica, duas linhas são resolvidas apenas se você puder ver um espaço entre elas. Nos gráficos, a resolução pode estar relacionada aos pontos de plotagem por polegada (ou outra medida linear).

Para ver, digamos, uma queda de 3 dB entre dois picos espectrais em um resultado de FFT, eles teriam que estar mais do que 1 bin de resultados de FFT separados. São necessários cerca de 2 compartimentos, ou um pouco mais, dependendo da função da janela usada, para separar claramente 2 picos adjacentes de frequência de igual magnitude com um espaço claro entre eles. Resolução de cerca de 2 Hz, por esta medida, para o seu exemplo.

Mas se você deseja estimar ou plotar a localização de apenas um pico de frequência que esteja distante de outros picos espectrais e bem acima do nível de ruído, geralmente é possível obter uma resolução muito mais precisa do que 1 separação de bin de resultado de FFT, por interpolação apropriada ( polinomial, ou melhor ainda, Sinc). Provavelmente abaixo de 0,5 Hz no seu exemplo, mas apenas com um S / N adequadamente alto e separação de outros picos.

Então a resposta é sim ... dependendo.

— hotpaw2
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