O que são convolução linear e circular?

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Eu tenho algum entendimento básico de sinais e convolução. Tanto quanto sei, mostra as semelhanças de dois sinais. Eu poderia obter alguma explicação em inglês simples sobre:

quais são a convolução linear e circular
por que eles são importantes
situação prática em que são utilizados

convolution linear-systems

— Sturm
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Não, a convolução não mostra semelhança de sinais. Talvez se você pudesse explicar que entendimento básico você tem de sinais e convolução, talvez seja mais fácil responder às perguntas que você faz.

— Dilip Sarwate

Basicamente, a convolução é um processo para calcular a saída de um sistema de LTI porque esses sistemas não variam com o tempo, e é por isso que não podemos calcular a saída diretamente usando y (t) = h (t) x (t).

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@DilipSarwate, a convolução de dois sinais está correlacionada com um dos sinais invertidos. e correlação não apresentam semelhanças de dois sinais. por isso não é algo para a compreensão do OP, mas é não completa.

— 22675 Robert Robinson-Johnson

@ robertbristow-johnson A correlação também requer conjugação de um dos sinais, enquanto a convolução exige . não, e não concordo que sua afirmação de que "a convolução de dois sinais esteja correlacionada com um dos sinais invertidos". E não traga a defesa de que "funciona com sinais de valor real"!

— Dilip Sarwate

Sim, eu sabia que @DilipSarwate, é que tantas vezes estamos correlacionando dados reais com dados reais.

— 22819 Robert De Bristow-johnson

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Convolução linear é a operação básica para calcular a saída para qualquer sistema linear invariante no tempo, dada sua entrada e sua resposta ao impulso.
Convolução circular é a mesma coisa, mas considerando que o suporte do sinal é periódico (como em um círculo, hance o nome).

Na maioria das vezes, é considerado porque é uma consequência matemática da transformada de Fourier discreta (ou séries de Fourier discretas para ser mais preciso):

Uma das maneiras mais eficientes de implementar a convolução é fazer a multiplicação na frequência.
A amostragem na frequência requer periodicidade no domínio do tempo.
No entanto, devido às propriedades matemáticas da FFT, isso resulta em convolução circular.

O método precisa ser adequadamente modificado para que a convolução linear possa ser realizada (por exemplo, método de sobreposição-adição).

— Hilmar
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Eu acho que você confunde convolução com correlação cruzada . Eles têm formas semelhantes, mas a convolução é mais geral.

$f$ $g$

corr (f, g) = \int_{- \infty}^{\infty} f (τ)^{*} g (t + τ) d τ = (f ⋆ (- g))

$\text{corr}(f,g)=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)^*g(t+\tau)d\tau=(f\star(-g))$

(f ⋆ g) = \int_{- \infty}^{\infty} f (τ) g (t - τ) d τ

$(f\star g)=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)g(t-\tau)d\tau$

A convolução pode ser usada para calcular a resposta de um sistema de LTI e a correlação cruzada (normalizada) pode ser usada para a correspondência de padrões: os máximos da função de correlação cruzada estão no deslocamento em que o padrão g é mais provável sinal f. Se você conhece esse deslocamento, pode usar uma medida de similaridade (como a distância euclidiana) para quantificar a similaridade.

— WebMonster
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Por que você diz que a convolução é mais geral? Eles não são equivalentes, se o tempo refletir um de seus sinais

— Rojo

f (τ)^{*} g (t + τ)

$f(\tau)^*g(t+\tau)$

f (τ)

$f(\tau)$

f (τ) g (t - τ)

$f(\tau)g(t-\tau)$

*

$*$

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$h(t)$ $h(n)$

— Archana
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Como ele responde à pergunta?

— jojek

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A correlação é usada para encontrar as semelhanças entre quaisquer sinais (correlação cruzada precisa). Convolução linear é usada para encontrar a saída d de qualquer sistema LTI (por exemplo, pelo método Flip-shift-arrastar etc), enquanto a convolução circular é um caso especial quando o sinal dado é periódico

— Pruthvi Raj GK
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Convolução linear: Para sequência aperiódica e infinita. Convolução circular: Para sequência periódica e finita.

— skyyy
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