Como encontro a resposta de impulso de um sistema a partir de sua representação no espaço de estados usando a matriz de transição de estado?

Suponha que temos um linear representado na notação de espaço de estado padrão:

\dot{x} (t) = A x (t) + B u (t)

$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$

y (t) = C x (t) + D u (t)

$y(t) = Cx(t) + Du(t)$

Para obter sua resposta de impulso, é possível fazer a transformação de Laplace para obter

s X = A X + B U

$sX=AX+BU$

Y = C X + D U

$Y=CX+DU$

e depois resolva a função de transferência que é

\frac{Y}{U} = C (s I - A)^{- 1} B + D

$\frac{Y}{U}=C(sI-A)^{-1}B+D$

Da mesma forma, para um sistema discreto, a transformação de $\mathcal{Z}$

x [n + 1] = A x [n] + B u [n]

$x[n+1]=Ax[n]+Bu[n]$

y [n] = C x [n] + D u [n]

$y[n] = Cx[n] + Du[n]$

\frac{Y}{U} = C (z I - A)^{- 1} B + D

$\frac{Y}{U}=C(zI-A)^{-1}B+D$

Esse processo parece um pouco longo e eu lembro que existe uma maneira de encontrar a resposta ao impulso usando a matriz de transição de estado, que é a solução para das primeiras equações de cada par. Alguém sabe como fazer isso? $x$

impulse-response state-space linear-systems

— Phonon
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Você pode abordar o problema usando a matriz de transição de estado, resolvendo o ODE não homogêneo padrão na primeira equação. A solução para é $\dot{x}(t)=A x(t) + B u(t)$

x (t) = x_{0} e^{A t} + \int_{0}^{t} e^{A (t - t^{'})} B u (t^{'}) d t^{'}

$x(t)=x_0 e^{At}+\int_{0}^te^{A(t-t')}Bu(t')dt'$

onde . A quantidade é chamada de matriz de transição de estado (também a solução para o ODE homogêneo), à qual me referirei como (não me lembro da notação padrão para isso). Tomando , a equação para se torna $x_0=x(0)$ $e^{At}$ $\Xi(t)$ $x_0=0$ $y(t)$

y (t) = C \int_{0}^{t} Ξ (t - t^{'}) B u (t^{'}) d t^{'} + D u (t)

$y(t)=C\int_0^t\Xi(t-t')Bu(t')dt'+Du(t)$

A equação acima fornece a saída conforme a entrada convolveu com a resposta de impulso do sistema e, de fato, você pode fazer a transformação de Laplace da equação acima para verificar. Notando que a transformada de Laplace é e circunvoluções nos produtos domínio do tempo tornam-se no domínio s, obtemos $\Xi(t)=e^{At}$ $(sI-A)^{-1}$

Y = C (s I - A)^{- 1} B U + D U

$Y=C(sI-A)^{-1}BU+DU$

que oferece a mesma função de transferência da sua pergunta.

Quanto ao seu comentário sobre a abordagem de transformação totalmente de Laplace ser longa, eu não diria necessariamente que é assim. No entanto, a abordagem da matriz de transição de estado pode ser mais simples de implementar , porque várias operações que a envolvem podem ser calculadas com multiplicações simples da matriz e nada mais.

— Lorem Ipsum
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Descrição muito boa.

— Jason R