O que se entende por "momento espectral"?

10

Eu consultei os oráculos todo-poderosos do google e wiki, mas não consigo encontrar uma definição para a frase "o momento do espectro".

Um texto de trabalho herdado que estou lendo o utiliza da seguinte maneira, definindo o número de cruzamentos de zero por unidade de tempo da seguinte maneira:

N_{0} = \frac{1}{π} {(\frac{m_{2}}{m_{0}})}^{1 / 2}

$N_0 = \frac1{\pi} \left(\frac{m_2}{m_0}\right)^{1/2}$

Em seguida, define ainda mais o número de extremos por unidade de tempo, conforme indicado por:

N_{e} = \frac{1}{π} {(\frac{m_{4}}{m_{2}})}^{1 / 2}

$N_e = \frac{1}{\pi}\left(\frac{m_4}{m_2}\right)^{1/2}$

onde ele passa a finalmente dizer, "onde é o th momento do espectro." $m_i$ $i$

Alguém já encontrou isso antes? Qual é o "momento" de um espectro? Eu nunca ouvi falar disso na literatura do DSP antes.

frequency-spectrum

— Spacey
fonte

Mencionando Cálculo eficiente de momentos espectrais para determinação de estatísticas de resposta aleatória para momentos espectrais: "Momentos espectrais são calculados a partir do PSD unilateral"

— Laurent Duval

11

Eu pensei que momentos espectrais foram o que aconteceu no filme Ghostbusters! :-)

— Peter K.

9

Suponha sinais de passa-baixo por toda parte.

Como é geralmente de valor complexo, usando o espectro de potência é provavelmente uma idéia melhor, especialmente se você quiser criar raízes quadradas etc. depois. Assim, é definido como Observe em particular que é a potência do sinal e $X(f)$ $|X(f)|^2$ $m_k$

m_{k} = \int_{- \infty}^{\infty} f^{k} | X (f) |^{2} d f .

$m_k = \int_{-\infty}^\infty f^k |X(f)|^2 \mathrm df.$

m_{0}

$m_0$

m_{1} = 0

$m_1 = 0$ Agora, a largura de banda Gabor

de um sinal é dada por

G

$G$

Para colocar isso em uma perspectiva ligeiramente diferente,

é uma função não-negativa e a "área sob a curva

", viz.

, é a potência do sinal. Portanto,

é efetivamente umafunçãodedensidade de probabilidadede uma variável aleatória com média zero cuja variância é

G = \sqrt{\frac{\int_{- \infty}^{\infty} f^{2} | X (f) |^{2} d f}{\int_{- \infty}^{\infty} | X (f) |^{2} d f}} = \sqrt{\frac{m_{2}}{m_{0}}} .

$G = \sqrt{\frac{\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f^2 |X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty |X(f)|^2 \mathrm df}} = \sqrt{\frac{m_2}{m_0}}.$

| X (f) |^{2}

$|X(f)|^2$

| X (f) |^{2}

$|X(f)|^2$

m_{0}

$m_0$

| X (f) |^{2} / m_{0}

$|X(f)|^2/m_0$

.

σ^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} f^{2} \frac{| X (f) |^{2}}{m_{0}} d f = \frac{\int_{- \infty}^{\infty} f^{2} | X (f) |^{2} d f}{\int_{- \infty}^{\infty} | X (f) |^{2} d f} = G^{2}

$\sigma^2 = \int_{-\infty}^\infty f^2 \frac{|X(f)|^2}{m_0} \mathrm df = \frac{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^2 |X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty |X(f)|^2 \mathrm df} = G^2$

Um sinusóide de frequência Hz tem $G$ $2G = 2\sqrt{\frac{m_2}{m_0}}$ $\omega$ $G$ $2\pi$

N_{0} = \frac{1}{π} \sqrt{\frac{m_{2}}{m_{0}}} zero crossings per second.

$N_0 = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{m_2}{m_0}} ~ \text{zero crossings per second.}$

$x(t)$ $j2\pi f X(f)$ $|2\pi f X(f)|^2$

\begin{aligned} G^{'} & = \sqrt{\frac{\int_{- \infty}^{\infty} f^{2} | 2 π f X (f) |^{2} d f}{\int_{- \infty}^{\infty} | 2 π f X (f) |^{2} d f}} \\ = \sqrt{\frac{\int_{- \infty}^{\infty} f^{4} | X (f) |^{2} d f}{\int_{- \infty}^{\infty} f^{2} | X (f) |^{2} d f}} \\ = \sqrt{\frac{m_{4}}{m_{2}}} . \end{aligned}

$\begin{align*}G^\prime &= \sqrt{\frac{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^2 |2\pi f X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty |2\pi f X(f)|^2 \mathrm df}}\\ &= \sqrt{\frac{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^4 |X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^2 |X(f)|^2 \mathrm df}}\\ &= \sqrt{\frac{m_4}{m_2}}. \end{align*}$

N_{e} = \frac{1}{π} \sqrt{\frac{m_{4}}{m_{2}}} extrema per second.

$N_e = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{m_4}{m_2}} ~ \text{extrema per second.}$

— Dilip Sarwate
fonte

Ótima resposta Dilip ... mas, "Gabor Bandwidth"? ... Eu nunca ouvi falar disso antes, e parece que não consigo obter nenhuma informação sobre isso na Web - de onde você tirou sua fórmula? E o que é que ele deve medir exatamente?

— Spacey

Obrigado pelos links em pdf - embora eu não acredite que eles estejam funcionando. Você poderia verificar?

— Spacey

f

$f$

m_{k} = \int_{- \infty}^{\infty} (2 π f)^{k} | X (f) |^{2} d f .

$m_k = \int_{-\infty}^\infty (2\,\pi\,f)^k |X(f)|^2 \mathrm df.$

m_{k}

$m_k$

2

Não sei se já ouvi esse termo antes, mas interpretaria o termo "momento" como tendo um significado análogo aos conceitos físicos de centro de massa e primeiro e segundo momentos da área:

m_{k} = \int_{- \infty}^{\infty} f^{k} X (f) d f

$m_k=\int_{-\infty}^{\infty} f^kX(f)\ df$

$k$

— Jason R
fonte

1

$L$

uma expressão que envolve o produto de uma distância e outra quantidade física e, dessa forma, explica como a quantidade física está localizada ou organizada

$\alpha$ $g$ $D$ $c$

m_{g_{D}} (α, c) = \int_{D} (t - c)^{α} g (t) d t

$m_{g_D}(\alpha,c) = \int_D (t-c)^\alpha g(t)d t$

m_{g_{D}} (α, c) = \int_{D} [t - c |^{α} g (t) d t

$m_{g_D}(\alpha,c) = \int_D [t-c|^\alpha g(t)d t$

x

$x$

X (f)

$X(f)$

g (\cdot) = | X (\cdot) |^{2}

$g(\cdot) = |X(\cdot)|^2$

m_{α} = \int_{f \geq 0} f^{α} \frac{| X (f) |^{2}}{\int_{ν \geq 0} | X (ν) |^{2} d ν} d f

$m_\alpha = \int_{f\ge 0} f^\alpha \frac{|X(f)|^2}{\int_{\nu\ge 0} |X(\nu)|^2d\nu}df$

Veja, por exemplo: Cálculo eficiente de momentos espectrais para determinação de estatísticas de resposta aleatória para momentos espectrais: "Momentos espectrais são calculados a partir do PSD unilateral".

$L$ $m_1/m_2$

— Laurent Duval
fonte