Convolução circular MOD-N

Como encontrar a convolução circular MOD-2 para as duas seqüências e . $h =[-1,3,-2,1]$ $x = [1,-1,-2,1,3,2,1,2]$

Eu sei que a resposta é do matlab, mas não sei como encontrá-la gráfica ou matematicamente $7$ $0$

discrete-signals convolution

— saleh khalaf
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Escreva $h(z) = -1 + 3z -2z^2 + z^3$ e calcule $h(z) \bmod (z^2 - 1)$ , ou seja, divida $h(z)$ por $z^2 - 1$ e tome apenas o restante. Embora isso pareça muito complicado, se você pensar um pouco, verá que tudo o que você está fazendo é dividir $[-1\quad3\ -2\quad 1]$ em $[-1\quad 3]$ e $[-2\quad 1]$ e adicionando os vetores mais curtos para obter $[-3\quad 4]$ . Repita para $x = [1 \ -1\ -2\quad 1 \quad 3 \quad 2\quad 1 \quad 2]$ para adicionar quatro vetores de comprimento $2$ para obter $[3\quad 4]$ . Presumivelmente, isso não é muito difícil de fazer no MATLAB, embora eu não esteja familiarizado o suficiente com a sintaxe para sugerir comandos específicos. Em seguida, calcule a convolução cíclica de $[-3\quad 4]$ e $[3\quad 4]$ preferência sem chamar as funções MATLAB. O resultado é

[{(- 3) \times 3 + 4 \times 4} {(- 3) \times 4 + 4 \times 3}] = [7 0]

$[\{(-3)\times 3 + 4\times 4\}\quad \{(-3)\times 4 + 4 \times 3\}] = [7\quad 0]$

Matematicamente, o que você está fazendo é computar que pode ser feito de maneira fantástica ao encontrar primeiro usando FFTs e o que você seguiu. (isso efetivamente divide o vetor longo em pedaços curtos e os adiciona), ou mais simplesmente computando primeiro e (dividindo em vetores mais curtos e adicionando-os) e calculando a convolução cíclica que é fácil de fazer. $h(z)x(z) \bmod (z^2-1)$ $h(z)x(z)$ $\bmod (z^2-1)$ $\hat{h}(z) = h(z) \bmod (z^2-1)$ $\hat{x}(z) = x(z) \bmod (z^2-1)$ $\hat{z}(z)\hat{x}(z) \bmod (z^2 - 1)$

Chop-add-convolve é mais fácil do que convolve-chop-add

— Dilip Sarwate
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O Matlab para "chop add convolve" seria: ifft (fft (sum (remodelar (x, 2, comprimento (x) / 2), 2), 2))). * Conj (fft (sum (remodelar (h, 2, comprimento (h ) / 2), 2))))

— pichenettes

Obrigado por sugerir o código chop-add, mas não concordo com o ifft (parte fft. A convolução cíclica de dois vetores de comprimento deve ser calculada diretamente sem chamar ffts e similares. Begin dificilmente precisa do mecanismo formal de ffts e iffts. O módulo para valores maiores de é uma questão diferente; para o módulo , é um exagero.

2

$2$

\begin{aligned} (a + b z) (c + d z) mod (z^{2} - 1) & = (a c + (a d + b c) z + b d z^{2}) mod (z^{2} - 1) \\ = (a c + b d) + (a d + b c) z \end{aligned}

$\begin{align*}(a+bz)(c+dz)\bmod(z^2-1)&=(ac+(ad+bc)z+bdz^2)\bmod (z^2-1)\\&=(ac+bd)+(ad+bc)z\end{align*}$

N

$N$

N

$N$

2

$2$

— Dilip Sarwate

sim, fazendo a convolução circular com IFFT (fft () * fft conj (()).) é útil apenas para uma maior N.

— pichenettes

@pichenettes A abordagem fft calcula (fft), multiplica e encontra a convolução resultado como , usando duas barras, duas escalas, seis adições, enquanto o cálculo direto precisa de quatro barras e duas adições. Se codificado diretamente, é quase um empate, mas acho que o método direto tem uma ligeira vantagem. Se as despesas gerais das chamadas de sub-rotina do MATLAB forem levadas em consideração, o método direto será mais rápido. Mas é claro, tudo isso é uma comparação de amendoins no tempo de computação em comparação com qualquer outra coisa que está sendo feita.

a + b, a - b, c + d, c - d

$a+b,a-b, c+d,c-d$

e = (a + b) (c + d), f = (a - b) (c - d)

$e=(a+b)(c+d), f=(a-b)(c-d)$

(e + f) / 2

$(e+f)/2$

(e - f) / 2

$(e-f)/2$

a c + b d, a d + b c

$ac+bd, ad+bc$

— Dilip Sarwate

Uma abordagem é "embrulhar" uma convolução circular em tamanho real:

sum(reshape(ifft(fft(x, 8) .* conj(fft(h, 8))), 2, 8 / 2), 2)

Outra implementação é dizimar diretamente a FFT:

N = 2;
Xf = fft(x); Xf = Xf(1:length(Xf) / N:end);
Hf = fft(h); Hf = Hf(1:length(Hf) / N:end);
ifft(Xf .* conj(Hf))

Se o que você deseja reproduzir é o comportamento do cconv do matlab, talvez seja melhor apenas olhar para o código-fonte nos arquivos matlab :)

— pichenettes
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