Solução de um problema de convolução de um sinal 1D

Estou com problemas tentando resolver este exercício. Eu tenho que calcular a convolução deste sinal:

y (t) = e^{- k t} u (t) \frac{\sin (\frac{π t}{10})}{(π t)}

$y(t)=e^{-kt}u(t)\frac{\sin\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{({\pi}t)}$

onde $u(t)$ é a função Heavyside

bem, eu apliquei a fórmula que diz que a convolução desses dois sinais é igual a

Y (f) = X (f) \cdot W (f)

$Y(f)=X(f)\cdot W(f)$

onde é a transformada de Fourier do primeiro sinal e é a transformada de Fourier do segundo sinal $X(f)$ $W(f)$

bem, a transformada de Fourier de $e^{-kt}u(t)$ é

X (f) = \frac{1}{k + j 2 π f}

$X(f)=\dfrac{1}{k+j2{\pi}f}$

Eu tenho que fazer o segundo sinal o mais igual possível a $\text{sinc}\left(\dfrac{t}{10}\right)$

então eu faço esta operação:

\frac{\sin (\frac{π t}{10})}{(\frac{π t}{10})} (\frac{1}{10})

$\dfrac{\sin\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{\left(\dfrac{1}{10}\right)}$ isso é igual

(\frac{1}{10}) sinc (\frac{t}{10})

${\left(\dfrac{1}{10}\right)}\text{sinc}\left(\dfrac{t}{10}\right)$

certo ou não?

— Mazzy
fonte

Parece correto para mim. Um aviso - algumas definições de sinc incluem pi nos parâmetros, como você fez, e algumas assumem (ou seja, elas teriam escrito sinc (t / 10)). Qualquer um está bem, desde que você entenda o que está fazendo.

— Jim Clay

Observe também que a transformação inversa de Fourier de

é o resultado da convolução que você procura. Usar a dualidade entre convolução no domínio do tempo e multiplicação no domínio da frequência não ajudará necessariamente a determinar analiticamente o resultado da convolução se a transformação inversa for difícil de fazer.

Y (f)

$Y(f)$

— Jason R

Mesmo sabendo que essa é uma resposta muito tardia, tentarei responder a essa pergunta porque a considero instrutiva e também porque o número de votos positivos sugere que essa pergunta é de interesse geral para a comunidade.

Como já foi sugerido na pergunta, vamos definir dois sinais e como $x(t)$ $w(t)$

x (t) = e^{- k t} u (t), k > 0 w (t) = \frac{\sin (π t / 10)}{π t}

$x(t)=e^{-kt}u(t),\quad k>0\\w(t)=\frac{\sin(\pi t/10)}{\pi t}$

Uma possível interpretação da convolução é que um sinal exponencialmente amortecido é filtrado por um filtro passa-baixo ideal com resposta de impulso . Na questão, também foi corretamente apontado que a convolução no domínio do tempo corresponde à multiplicação no domínio da frequência. A integral de Fourier de pode ser facilmente calculada: $(x*w)(t)$ $x(t)$ $w(t)$ $x(t)$

X (j ω) = \int_{0}^{\infty} e^{- k t} e^{- j ω t} d t = \frac{1}{k + j ω}

$X(j\omega)=\int_{0}^{\infty}e^{-kt}e^{-j\omega t}dt = \frac{1}{k+j\omega}$

A transformada de Fourier de $w(t)$ $\omega_0=2\pi f_0$

\begin{matrix} (1) & h_{L P} (t) = \frac{\sin ω_{0} t}{π t} \end{matrix}

$h_{LP}(t)=\frac{\sin \omega_0 t}{\pi t}\tag{1}$

Comparando (1) com a definição de , vemos que é simplesmente um filtro passa-baixo de ganho de unidade com frequência de corte : $w(t)$ $w(t)$ $\omega_0=\pi/10$

W (j ω) = u (ω + ω_{0}) - u (ω - ω_{0})

$W(j\omega)=u(\omega+\omega_0)-u(\omega-\omega_0)$

u (ω)

$u(\omega)$

Para encontrar a função de tempo $y(t)=(x*w)(t)$ $Y(j\omega)=X(j\omega)W(j\omega)$

y (t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} X (j ω) W (j ω) e^{j ω t} d ω = \frac{1}{2 π} \int_{- ω_{0}}^{ω_{0}} \frac{1}{k + j ω} e^{j ω t} d ω

$y(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(j\omega)W(j\omega)e^{j\omega t}d\omega= \frac{1}{2\pi}\int_{-\omega_0}^{\omega_0}\frac{1}{k+j\omega}e^{j\omega t}d\omega$

$\text{Ei}(x)$ $\text{Si}(x)$ $\text{Ci}(x)$

$y(t)$ $k=0.05$ $\omega_0=\pi/10$ insira a descrição da imagem aqui

$x(t)$ $y(t)$ $y(t)$ $t<0$ $\omega_0=\pi$ $\pi/10$

insira a descrição da imagem aqui

— Matt L.
fonte

Talvez uma interpretação melhor seria uma entrada de função sinc aplicada a um filtro passa-baixa de primeira ordem fisicamente realizável, cuja resposta ao impulso é o exponencial decadente?

— precisa

Claro que é outra interpretação válida, mas por que melhor? OK, o sistema pode ser realizado, mas não o sinal de entrada. Um filtro passa-baixo ideal é um sistema padrão que é frequentemente analisado e usado para fins instrutivos, mesmo que não possa ser realizado. De qualquer forma, felizmente o resultado permanece o mesmo :)

— Matt L.