O que são pólos e zeros?

O conceito de pólos e zeros em filtros foi introduzido a mim durante nosso laboratório (nosso laboratório não está sincronizado com nossa palestra) através da geração de plotagem de pólo zero de filtros no MATLAB. Eu não adquiri sua importância até que foi mencionado em nossa palestra que os pólos fazem a equação infinita (ou seu denominador zero), enquanto os zeros fazem as raízes do numerador zero. Ainda não consigo entender o que são pólos e zeros. Alguém pode dar uma explicação intuitiva e simples sobre o que são pólos e zeros? Muito apreciado.

Tome a equação b / (xc) com b diferente de zero. A proporção vai para o infinito quando x se aproxima de c. Então c é a localização de um poste (algo alto e pontudo em um gráfico).

Tome a equação (xb) / c com c diferente de zero. A proporção vai para zero quando x se aproxima de b. Então b é a localização de algo comumente chamado "a zero".

Você não pode fazer isso apenas com x escalar, mas com x complexo, portanto, o domínio dos polos e zeros estará em um plano (complexo) em vez de em uma linha.

Se a proporção representar algo sobre a resposta de um filtro, pode-se dizer que a saída dos filtros é igual ou próxima a zero quando a entrada está igual ou próxima a uma resposta "zero". E coisas ruins podem começar a acontecer quando x se aproxima de um poste (a fonte de alimentação começa a fumar quando solicitada a fornecer amplificadores infinitos, as operações matemáticas produzem NaNs ou estouros de ponto fixo, etc.)

Para adicionar outras boas respostas, achei os gráficos a seguir úteis para obter uma melhor compreensão intuitiva, mais especificamente para os pólos e zeros das funções de transferência.

(ATUALIZAÇÃO: Eu também me deparei com este outro post semelhante do @Endolith que é muito bom: como os pólos estão relacionados à resposta de frequência )

Abaixo está a função de transferência de um filtro passa-baixo com dois pólos no plano esquerdo, dado pela transformação Laplace da resposta ao impulso do filtro. Este é um sistema analógico, mas podem ser feitas representações equivalentes para sistemas digitais no domínio z em vez do domínio s.

O gráfico à esquerda é o diagrama típico que vemos quando introduzidos em polos e zeros mostrando sua localização no plano s, observando que um polo é o valor de s que faz com que a equação X (s) vá ao infinito enquanto um zero é o valor para s que faz a equação X (s) ir a zero. Portanto, sim, esse sistema em particular também possui dois zeros no infinito, pois esses valores para s fazem a equação ir a zero.

À direita, há um gráfico 3D mostrando a magnitude de X (s) para todos os valores de s no plano complexo. O interessante é que esse é o único gráfico que resultaria dessa proporção de polinômios, de tal forma que a descrevemos completamente simplesmente a partir do pólo e da localização zero! Portanto, todos os pontos nesta superfície são comunicados, neste caso, simplesmente a partir dos dois pólos indicados.

Notavelmente, muitas vezes estamos interessados ​​na resposta em frequência de um filtro ou sistema. s é a entrada que no plano complexo pode ter componentes reais e imaginários. Especificamente, quando s é a, possui apenas valor imaginário constante, estamos descrevendo uma frequência constante. Assim, uma fatia ao longo do$j\omega$ O eixo no gráfico 3D mostrado de todas as magnitudes mostraria a resposta de magnitude do filtro, conforme representado no canto superior direito do gráfico acima (que é equivalente à magnitude da Transformada de Fourier da resposta de impulso do filtro).

O que não é mostrado no gráfico 3D acima é a "Região de convergência", mostrando todos os valores de s nos quais a transformada de Laplace converge para um valor finito, dependendo se o sistema é causal ou anti-causal.

A função de transferência de uma rede (caixa preta) geralmente é uma função racional com um numerador e um polinômio de denominador. De acordo com o teorema fundamental da álgebra de Gauss, um polinômio também pode ser escrito como o produto dos zeros polinomiais. Os zeros do polinômio do denominador criam, portanto, os polos da função de transferência (1 / zero = infinito -> polo). Os zeros do polinômio do numerador são os zeros da função de transferência.

Consulte também: http://www.rfcurrent.com/poles-and-zeroes

Primeiro, você deve ver um plano z como um conjunto de sinais exponenciais complexos. E se$z = z_0$, então sinal discreto correspondente $Re(z^n) = Re(z_0^0),\ Re(z_0^1),\ Re(z_0^2),\ ...$. E se$|z_0|<1$, é um sinal em decomposição.

Segundo, pólos e zeros são usados ​​para descrever um sistema IIR, ou seja, um sistema com feedback.

Os zeros são fáceis: se o sistema tiver zero em $z_0$, isso significa um sinal definido por $z_0$em um plano z passará por um loop de feedback e somará estritamente fora de fase, resultando em saída zero. Os polos são um pouco mais complicados: se o sistema tiver um polo em$z_0$, isso significa que um sistema irá gerar esse sinal, além de ser perturbado e se mover livremente. Obviamente, se o sistema tiver um polo para aumentar o sinal ($|z_0|>1$), é instável. Ao projetar um filtro, zeros devem ser colocados para suprimir frequências indesejadas. Os pólos são colocados de maneira que

• eles cancelam a influência de zeros nas frequências a serem passadas
• filtro permanece estável