Como entender o ganho de Kalman intuitivamente?

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O algoritmo de filtro Kalman funciona da seguinte maneira

Inicializar e . $\hat{\textbf{x}}_{0|0}$ $\textbf{P}_{0|0}$

Em cada iteração $k=1,\dots,n$

Prever

Previsto (a priori) estado estimativa Estimativa (a priori) de covariância estimada Atualização
${\hat{x}}_{k | k - 1} = F_{k} {\hat{x}}_{k - 1 | k - 1} + B_{k} {você}_{k}$ $\hat{\textbf{x}}_{k|k-1} = \textbf{F}_{k}\hat{\textbf{x}}_{k-1|k-1} + \textbf{B}_{k} \textbf{u}_{k}$ $P_{k | k - 1} = F_{k} P_{k - 1 | k - 1} F_{k}^{T} + Q_{k}$ $\textbf{P}_{k|k-1} = \textbf{F}_{k} \textbf{P}_{k-1|k-1} \textbf{F}_{k}^{\text{T}} + \textbf{Q}_{k}$
Inovação ou medição residual Inovação (ou residual) covariância Ganho ideal de Kalman Estimativa do estado atualizada (a posteriori) Atualizado (a posteriori) estimativa de covariância
${\tilde{y}}_{k} = z_{k} - H_{k} {\hat{x}}_{k | k - 1}$ $\tilde{\textbf{y}}_k = \textbf{z}_k - \textbf{H}_k\hat{\textbf{x}}_{k|k-1}$ $S_{k} = H_{k} P_{k | k - 1} H_{k}^{T} + R_{k}$ $\textbf{S}_k = \textbf{H}_k \textbf{P}_{k|k-1} \textbf{H}_k^\text{T} + \textbf{R}_k$ $K_{k} = P_{k | k - 1} H_{k}^{T} S_{k}^{- 1}$ $\textbf{K}_k = \textbf{P}_{k|k-1}\textbf{H}_k^\text{T}\textbf{S}_k^{-1}$ ${\hat{x}}_{k | k} = {\hat{x}}_{k | k - 1} + K_{k} {\tilde{y}}_{k}$ $\hat{\textbf{x}}_{k|k} = \hat{\textbf{x}}_{k|k-1} + \textbf{K}_k\tilde{\textbf{y}}_k$ $P_{k | k} = (Eu - K_{k} H_{k}) P_{k | k - 1}$ $\textbf{P}_{k|k} = (I - \textbf{K}_k \textbf{H}_k) \textbf{P}_{k|k-1}$

O ganho de Kalman representa a importância relativa do erro com relação à estimativa anterior . $K_k$ $\tilde{\textbf{y}}_k$ $\hat{\textbf{x}}_{k|k-1}$

Gostaria de saber como entender a fórmula para o ganho Kalman intuitivamente ? Considere o caso de os estados e saídas serem escalares, por que o ganho é maior, quando $K_k$

$\textbf{P}_{k|k-1}$ é maior
$\textbf{H}_k$ é maior
$\textbf{S}_k$ é menor?

Obrigado e cumprimentos!

kalman-filters

— Tim
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Esta é uma pergunta difícil de responder corretamente. Eu tentei, mas não convencido com a minha própria resposta. Basicamente, o ganho controla o quanto você confia nas medições sobre a estimativa, mas não posso explicar como esse ganho é conformado.

— Jav_Rock

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$K$ $K$

$\displaystyle \quad\ \bf{K_k} = \bf{P_k^-\, H_k^{\rm T} (H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k)^{-1}} = \bf{\frac {P_k^-\, H_k^{\rm T}}{H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k}}$

$R_k$ $P_k$ $x_{k}⁻$ $ỹ_k$

$\displaystyle \quad\ \lim\limits_{\bf{R_k \to 0}} \bf{{P_k^-\, H_k^{\rm T}} \over\ {H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k}}\ = \bf{H_k^{-1}}$

$\displaystyle \quad\ \lim\limits_{\bf{P_k \to 0}} \bf{{P_k^-\, H_k^{\rm T}} \over\ {H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k}}\ = \bf 0$

Substituindo o primeiro limite na equação de atualização da medição

$\displaystyle \quad\ \bf{\hat x_k} = \bf{x_k^-} + \bf{K_k}(\bf{\tilde y_k}-\bf{H_k}\bf{x_k^-})$

$R$

$H P^⁻ H^T$ $R$ $x_k⁻$

— Jav_Rock
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2

K_{k}

$K_k$

H_{k}

$H_k$

12

O ganho de Kalman diz quanto eu quero alterar minha estimativa, dada uma medida.

${\bf S}_k$ ${\bf z}_k$ ${\bf S}_k$

${\bf P}_k$ ${\bf x}_k$ ${\bf P}_k$

${\bf P}_k$ ${\bf P}_k \rightarrow 0$ $K\rightarrow 0$

— ssk08
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2

$\bf{K_k}$

$\displaystyle \quad\ \bf{K_k} = \bf{P_k^-\, H_k^{\rm T} (H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k)^{-1}} = \bf{H_k^-\frac {H_kP_k^-\, H_k^{\rm T}}{H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k}}$

$\bf{R_k}$

$\bf{H_k^-}$

$\bf{K_k}$

$\displaystyle \quad\ \bf{\hat x_k} = \bf{x_k^-} + \bf{K_k}(\bf{\tilde y_k}-\bf{H_k}\bf{x_k^-})$

— Zichao Zhang
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-1

Estou trabalhando no algoritmo Kalman Filter (KF). Observei que o ganho de kalman lida com a convergência do algoritmo com o tempo, ou seja, com a rapidez com que o algoritmo corrige e minimiza o residual.

Chegando à equação, escolha um valor de ganho kalman inicial e varie de baixo para alto, o que pode lhe proporcionar um valor aproximado.

— Harsha
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