Transformada de Fourier 4 vezes = função original (do livro de Bracewell)

Eu estava olhando "The Fourier Transform & Its Applications", de Ronald Bracewell, que é um bom livro de introdução sobre a Fourier Transforms. Nele, ele diz que, se você tomar o FT de uma função 4 vezes, recupera a função original, ou seja,

$$F\left( F\left( F\left( F\left( g(x) \right) \right) \right) \right) = g(x)\,.$$

Alguém poderia me mostrar como isso é possível? Estou assumindo que a declaração acima é para x complexo, e isso tem algo a ver com$i^0=1$, $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3 = -i$, $i^4=1$?

Obrigado por sua iluminação.

Usarei a transformada de Fourier não unitária (mas isso não é importante, é apenas uma preferência):

$$X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-i\omega t}dt\tag{1}$$

$$x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{i\omega t}d\omega\tag{2}$$

onde (1) é a transformação de Fourier e (2) é a transformação de Fourier inversa.

Agora, se você tomar formalmente a transformação de Fourier de $X(\omega)$ você recebe

$$\mathcal{F}\{X(\omega)\}=\mathcal{F}^2\{x(t)\}=\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{-i\omega t}d\omega\tag{3}$$

Comparando (3) com (2), temos

$$\mathcal{F}^2\{x(t)\}=2\pi x(-t)\tag{4}$$

Portanto, a transformada de Fourier é igual a uma transformada de Fourier inversa com uma mudança de sinal da variável independente (além de um fator de escala devido ao uso da transformada de Fourier não unitária).

Desde a transformação de Fourier de $x(-t)$ é igual a $X(-\omega)$, a transformada de Fourier de (4) é

$$\mathcal{F}^3\{x(t)\}=2\pi X(-\omega)\tag{5}$$

E, por um argumento semelhante ao usado em (3) e (4), a transformada de Fourier de $X(-\omega)$ é igual a $2\pi x(t)$. Portanto, obtemos para a transformada de Fourier de (5)

$$\mathcal{F}^4\{x(t)\}=2\pi\mathcal{F}\{X(-\omega)\}=(2\pi)^2x(t)\tag{6}$$

qual é o resultado desejado. Observe que o fator$(2\pi)^2$em (6) é uma consequência do uso da transformada de Fourier não unitária. Se você usar a transformação de Fourier unitária (onde a transformação e sua inversa obtêm um fator$1/\sqrt{2\pi}$) esse fator desapareceria.

Em resumo, além de fatores constantes irrelevantes, você obtém

$$x(t)\overset{\mathcal{F}}{\Longrightarrow} X(\omega)\overset{\mathcal{F}}{\Longrightarrow} x(-t)\overset{\mathcal{F}}{\Longrightarrow} X(-\omega)\overset{\mathcal{F}}{\Longrightarrow} x(t)$$