Propriedades estatísticas das estimativas de Kalman sob ruído gaussiano

Para um modelo de estado-espaço linear com ruídos estaduais e saída de Gauss independentes e palpite perfeito para estado inicial, fazer estimativas de Kalman ter as seguintes propriedades:

E ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}) = 0

$E(\hat{x}_{k|k} - x_k) = 0$

Onde

P_{k | k} = V a r ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}), or V a r ({\hat{x}}_{k | k}), or V a r (x_{k}) ?

$P_{k|k} = Var(\hat{x}_{k|k} - x_k),\text{ or }Var(\hat{x}_{k|k}),\text{ or }Var(x_k) ?$

é o estado no tempo , que é aleatório $x_k$ $k$
esão companheiros de Kalman, isto é, saídas do filtro Kalman. $\hat{x}_{k|k}$ $P_{k|k}$

Existem referências mencionando isso?

Obrigado!

kalman-filters

— Tim
fonte

a matriz de covariância estimada a posteriori no tempo

? Não existe realmente uma notação padrão usada, portanto não está completamente claro o que você quer dizer com "estimativas de Kalman".

P_{k | k}

$P_{k|k}$

k

$k$

— Jason R

@ Jason: sim, é ...

— Tim

Respostas:

As duas instruções a seguir são equivalentes a dizer:

E ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}) = 0

$E(\hat{x}_{k|k} - x_k) = 0$

(1) Que o estimador é imparcial ; e

P_{k | k} = V a r ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k})

$P_{k|k} = Var(\hat{x}_{k|k} - x_k)$

(2) Que o estimador é consistente .

Ambas as condições são necessárias para que o filtro seja ideal - ou seja, a melhor estimativa possível de em relação a alguns critérios. $\mathbf{x}_{k|k}$

Se (1) não for verdadeiro, o erro quadrático médio (MSE) seria o viés mais a variância (no caso escalar). Claro, isso é maior que apenas a variação e, portanto, subótimo.

Se (2) não for verdadeiro (ou seja, a covariância calculada pelo filtro é diferente da covariância verdadeira), o filtro também será subótimo. Como o ganho de Kalman é baseado na covariância calculada do estado, um erro na covariância levará a um erro no ganho. Erro no ganho significa uma ponderação subótima das medições.

(Por acaso, as duas condições são verdadeiras para um filtro modelado corretamente. Erros na modelagem, como o modelo dinâmico ou covariâncias de ruído, também tornarão o filtro abaixo do ideal).

Fonte: Bar-Shalom , especialmente a Seção 5.4 na página 232-233.

— Damien
fonte

É importante observar que NÃO é uma variável aleatória. É o estado do sistema que é determinístico, que geralmente é variável em . que é equivalente a dizer $x_k$ $k$

E ({\hat{x}}_{k | k}) = x_{k}

$E(\hat{x}_{k|k}) = x_k$

E ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}) = 0

$E(\hat{x}_{k|k} - x_k) = 0$

Além disso,

V a r (x_{k}) = 0

$Var(x_k) = 0$

P_{k | k} = V a r ({\hat{x}}_{k | k})

$P_{k|k} = Var(\hat{x}_{k|k})$

x_{k}

$x_k$

V a r ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k})

$Var(\hat{x}_{k|k} - x_k)$

fundo

$x_k$ $w$ $Q$ $Q$ $GQG^T$ $G$

x_{k + 1} = A x_{k} + B u_{k} + G w

$x_{k+1} = Ax_k + Bu_k +Gw$

Como referência: o próprio artigo de Kalman:http://160.78.24.2/Public/Kalman/Kalman1960.pdf

— aiao
fonte

{x_{k}}_{k = - \infty}^{\infty}

$\left \{ x_k \right \}_{k=-\infty}^{\infty}$

x_{k}

$x_k$

x_{k}

$x_k$

@Drazick O ruído do processo geralmente recebe o símbolo w, com variação Q. xk é o estado do sistema, não faria sentido que os estados fossem aleatórios; a estimativa do outro, sendo uma variável aleatória, faz sentido

— Aião

x_{k + 1}

$x_{k+1}$

G w

$Gw$

x_{k + 1}

$x_{k+1}$

w

$w$

k

$k$

x_{k | k} \sim N ({\hat{x}}_{k | k}, P_{k | k})

$\mathbf{x}_{k|k} \sim N\left( \hat{\mathbf{x}}_{k|k}, \mathbf{P}_{k|k}\right)$