Qual é a diferença entre convolução e correlação cruzada?

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Descobri em vários sites que a convolução e a correlação cruzada são semelhantes (incluindo a tag wiki para convolução), mas não encontrei em nenhum lugar como elas diferem.

Qual é a diferença entre os dois? Você pode dizer que a autocorrelação também é uma espécie de convolução?

convolution autocorrelation cross-correlation

— Mien
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Pode ser interessante notar que, para funções reais, pares, a correlação cruzada e a convolução produzem o mesmo resultado.

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Um usa uma estrela de 5 pontas ★ e o outro uma estrela de 6 pontas ✶.

— Endolith

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A única diferença entre correlação cruzada e convolução é uma reversão de tempo em uma das entradas. Convolução discreta e correlação cruzada são definidas da seguinte forma (para sinais reais; negligenciei os conjugados necessários quando os sinais são complexos):

x [n] * h [n] = \sum_{k = 0}^{\infty} h [k] x [n - k]

$x[n] * h[n] = \sum_{k=0}^{\infty}h[k] x[n-k]$

c o r r (x [n], h [n]) = \sum_{k = 0}^{\infty} h [k] x [n + k]

$corr(x[n],h[n]) = \sum_{k=0}^{\infty}h[k] x[n+k]$

Isso implica que você pode usar algoritmos de convolução rápida, como economia de sobreposição, para implementar correlação cruzada com eficiência; apenas inverta o tempo primeiro um dos sinais de entrada. A autocorrelação é idêntica à anterior, exceto , para que você possa vê-lo como relacionado à convolução da mesma maneira. $h[n] = x[n]$

Edit: Como alguém acabou de fazer uma pergunta duplicada, fui inspirado a adicionar mais uma informação: se você implementar a correlação no domínio da frequência usando um algoritmo de convolução rápido, como overlap-save, poderá evitar o incômodo do tempo. reverter um dos sinais primeiro conjugando um dos sinais no domínio da frequência. Pode ser demonstrado que a conjugação no domínio da frequência é equivalente à reversão no domínio do tempo.

— Jason R
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Essa resposta é boa para sinais reais, mas Jason trouxe sinais de valores complexos; nesse caso, é importante notar que não é bem assim que a "única diferença é ... reversão do tempo ..." De fato, conjugados complexos são necessários em um dos dois sinais da fórmula de correlação (qual deles é conjugado é uma questão de convenção - alguns dizem que pode pedir e outros dizem que sim - mas ambos chamam uma fruta de vegetal). Por outro lado, nenhum sinal é conjugado na fórmula de convolução.

— Dilip Sarwate

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mas o que significa que eles são tão parecidos? Usando algumas palavras intuitivas profundas!

— Diego

Não vejo como isso está revertendo isso, em vez de mudá-lo na direção oposta ao que é útil?

— Jonathan.

@ Jonathan .: A reversão ocorre porque o índice de tempo dentro do somatório é negado no caso de correlação versus convolução. Se você elaborar a matemática para um exemplo de sinal, verá o efeito.

k

$k$

— Jason R

@ JasonR, certamente isso apenas resulta em uma mudança na direção oposta? Eu tentei resolver isso e tudo o que acontece é que a entrada x se afasta da entrada h e tudo acaba em zero. jsfiddle.net/ua5d1uo2

— Jonathan.

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Para convolução contínua e correlação cruzada contínua É fácil mostrar que a correlação cruzada operador é o operador adjunta da do operador de convolução .

[H f] (x) \equiv f (x) * h (x) \equiv \int d x^{'} h (x - x^{'}) f (x^{'})

$[Hf](x) \equiv f(x) * h(x) \equiv \int\mathrm{d}x' h(x-x')f(x')$

[G f] (x) \equiv f (x) ⋆ h (x) \equiv \int d x^{'} h^{*} (x^{'} - x) f (x^{'})

$[Gf](x) \equiv f(x) \star h(x) \equiv \int \mathrm{d}x'h^*(x'-x)f(x')$

G

$G$

H

$H$

Além disso, a operação de convolução é comutativa enquanto a correlação cruzada não possui essa propriedade.

f (x) * h (x) = h (x) * f (x),

$f(x) * h(x) = h(x) * f(x),$

$\\\\\\\\$

— chaohuang
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Como estudante, eu estava envolvido no mesmo problema que você. Deixe-me explicar para você nas palavras mais simples, sem matemática.

Convolução: É usado para envolver duas funções. Pode parecer redundante, mas vou dar um exemplo: Você deseja envolver (em um termo não matemático para "combinar") uma célula unitária (que pode conter qualquer coisa que você queira: proteína, imagem etc.) e uma estrutura de treliça. O resultado seria que essa célula unitária é organizada em cada ponto da rede, criando uma estrutura repetida de célula unitária organizada.

Correlação cruzada: é usado para identificar uma célula dentro de uma estrutura. Como exemplo, você tem a imagem de um pequeno pedaço de uma cidade e a imagem de toda a cidade. Com a correlação cruzada, você pode determinar onde essa imagem pequena está localizada dentro de toda a imagem da cidade. Dizendo mais simples, "varre" até encontrar uma correspondência. Agora, a maneira como isso é feito é encontrar um fator de correlação cruzada que vem da soma de várias multiplicações de um valor que vem de cada figura.

É muito simples. Se você quiser entender melhor a matemática de maneira amigável, assista a este vídeo. Este professor da CALTECH explica da melhor maneira que eu já vi.

https://www.youtube.com/watch?v=MQm6ZP1F6ms

Boa sorte.

— Andres
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Aqui está uma visualização dos dois, caso isso ajude com a intuição:

http://www.youtube.com/watch?v=Ma0YONjMZLI

— user2084538
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Esta é uma ilustração muito mal escolhida da diferença entre as duas operações, porque deixa a impressão de que o resultado da correlação cruzada é apenas o reverso no tempo do resultado da convolução.

— precisa saber é o seguinte