Por que os sistemas lineares mostram fidelidade sinusoidal?

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Estou procurando uma prova de fidelidade sinusoidal. No DSP estudamos muito sobre sistemas lineares. Os sistemas lineares são homogêneos e aditivos. Mais uma condição que satisfaz é que, se um sinal é uma onda senoidal ou cos, a saída altera apenas a fase ou a amplitude. Por quê? Por que a saída não pode ser uma saída totalmente diferente quando uma onda senoidal é fornecida como entrada?

— Hobyist
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Bem-vindo ao DSP. Ótima pergunta!

— Phonon

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Sua compreensão está incompleta. Um sistema linear (significando homogêneo e aditivo) não tem necessariamente a propriedade de que um sinusóide de entrada produz um sinusóide da mesma frequência, mas possivelmente amplitude e fase diferentes. Você precisa impor a restrição adicional de que o sistema também é invariante no tempo. Por exemplo, se a entrada

x (t)

$x(t)$ produz uma saída

x (t) \cos (2 π 10^{9} t)

$x(t)\cos(2\pi 10^9 t)$ , o sistema é homogêneo e aditivo e, portanto, linear, mas não satisfaz a propriedade SISO (saída sinusóide e não sinusóide).

— Dilip Sarwate

Dilip (ou alguém) deve colocar como resposta: "Eles não". Somente sistemas lineares invariantes no tempo .

— hotpaw2

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Apenas como uma observação, outra maneira de formular essa pergunta seria "Por que os exponenciais são autofunções de sistemas lineares invariantes no tempo?"

— Jason R

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Um complemento um pouco visual para as outras respostas

Você está falando de sistemas lineares e invariantes no tempo.

Funções exponenciais têm uma propriedade peculiar (e podem ser realmente definidas por ela): fazer uma conversão de tempo resulta na mesma função multiplicada por uma constante. assim

e^{t - t_{0}} = e^{- t_{0}} e^{t}

$e^{t-t_0}=e^{-t_0}e^t$

Gráficos do Mathematica

O exponencial vermelho também poderia ser o azul dividido por ou movido 1 segundo para a direita $e$

Em geral, isso também vale para exponenciais complexas

Você pode imaginar em sua mente o gráfico de uma harmônica complexa como ? Nesse caso, você verá que é como uma mola: ela gira ao longo do plano complexo à medida que o tempo passa. $x(t)=e^{j2\pi t}$

Gráficos do Mathematica

Girar essa mola (multiplicando por um número complexo no círculo unitário) é o mesmo que traduzi-la. Você provavelmente já entrou nesse efeito visual em algum momento da sua vida

insira a descrição da imagem aqui

É o princípio de qualquer parafuso padrão também.

Suponha que inserimos isso em um sistema linear invariante no tempo. Você obtém uma saída Agora, insira uma versão rotacionada desta primavera. Devido à linearidade, a saída deve ser girada na mesma quantidade. Mas uma vez que uma rotação é equivalente a um tempo-tradução, e o sistema é invariante no tempo, a saída também tem que ser -tempo traduzido pela mesma quantidade. Portanto, deve satisfazer a mesma propriedade da entrada: girá-la deve ser equivalente a uma conversão de tempo específica. Isso só acontece quando a saída é um múltiplo da mola original. $y$ $y$ $y$ $y$

Quanta tradução? Bem, é diretamente proporcional à rotação, como aconteceria com uma mola. Quanto mais apertadas as alças da mola (quanto mais rápida ela gira), menos tempo é traduzido para uma determinada rotação. Quanto mais apertadas as alças de um parafuso, mais voltas você precisará fazer para que ele se encaixe completamente. E, quando metade das rodadas estiver concluída, o parafuso estará na metade do caminho ... A saída deve satisfazer a mesma relação, portanto, a mola de saída gira na mesma frequência da entrada. $y$

Por fim, um lembrete

\cos (t) = \frac{e^{j t} + e^{- j t}}{2}

$\cos(t)=\frac{e^{j t}+e^{-j t}}{2}$

\sin (t) = \frac{e^{j t} - e^{- j t}}{2 j}

$\sin(t)=\frac{e^{j t}-e^{-j t}}{2 j}$

Então, o que acontece com exponenciais, na verdade, não precisa acontecer com cossenos e senos no caso mais geral. Mas se o sistema também é real, é uma história diferente ...

Em geral, por esse mesmo raciocínio, qualquer exponencial é uma "função própria" (a saída é proporcional à entrada) de sistemas invariantes no tempo linear. É por isso que, para esses sistemas, as transformações Z e Laplace são tão úteis

— Rojo
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Como / de onde você tirou essa animação?

— Spacey

@Mohammad retirou-o da página wikipedia no arquivo Archimedes screw

— Rojo

Onde você conseguiu esse lote de saca-rolhas? :) math.stackexchange.com/q/144268/2206

— endolith

@ endolith oh, acabei de fazer isso no Mathematica. Os seus são mais agradáveis;)

— Rojo

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Considere um sistema com entrada e saída . Tomando emprestada a notação da resposta de Lars1, denotamos essa relação . O sistema é considerado um sistema linear invariável no tempo (LTI) se ele satisfizer as seguintes propriedades: $x(t)$ $y(t)$ $x(t) \to y(t)$

H. Se , então . $x(t) \to y(t)$ $\alpha x(t) \to \alpha y(t)$

A. Se e , então $x_1(t) \to y_1(t)$ $x_2(t) \to y_2(t)$ $x_1(t) + x_2(t) \to y_1(t) + y_2(t).$

T. Se , então para qualquer número real . $x(t) \to y(t)$ $x(t-\tau) \to y(t-\tau)$ $\tau$

As propriedades H e A juntas são equivalentes à propriedade L

L. Se e , então . $x_1(t) \to y_1(t)$ $x_2(t) \to y_2(t)$ $\alpha x_1(t) + \beta x_2(t) \to \alpha y_1(t) + \beta y_2(t)$

A entrada periódica em um sistema invariante no tempo produz uma saída periódica
Suponha que seja um sinal periódico com o período , ou seja, para todos os números inteiros . Em seguida, a partir de Propriedade t , segue-se imediatamente que também é um sinal periódico com o período . Assim, podemos expressar como uma série de Fourier: $x(t)$ $T$ $x(t-nT) = x(t)$ $n$ $y(t)$ $T$ $y(t)$

ondeé a frequência fundamental.

y (t) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \cos (n ω t) + b_{n} \sin (n ω t)

$y(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(n\omega t) + b_n \sin(n\omega t)$

ω = 2 π / T

$\omega = 2\pi/T$

Como e são sinais periódicos, temos isso para qualquer sistema invariante no tempo, linear ou não, $\cos(\omega t)$ $\sin(\omega t)$ Na verdade, paralinearsistemas invariante no tempo (LTI),todooesão iguais a zero, excepto para

\begin{aligned} \cos (ω t) & \to \frac{p_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} p_{n} \cos (n ω t) + q_{n} \sin (n ω t) \\ \sin (ω t) & \to \frac{r_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} r_{n} \cos (n ω t) + s_{n} \sin (n ω t) \end{aligned} .

$\begin{align*} \cos(\omega t) &\to \frac{p_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} p_n \cos(n\omega t) + q_n \sin(n\omega t)\\ \sin(\omega t) &\to \frac{r_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} r_n \cos(n\omega t) + s_n \sin(n\omega t)\\ \end{align*}.$

p_{n}, q_{n}, r_{n},

$p_n, q_n, r_n,$

s_{n}

$s_n$

. Para entender por que isso ocorre, calculemos a resposta do sistema LTI a

de duas maneiras diferentes e compare os resultados.

p_{1}, q_{1}, r_{1}, s_{1}

$p_1, q_1, r_1, s_1$

\cos (ω t - θ)

$\cos(\omega t - \theta)$

Como , obtemos da Propriedade L e das equações acima que $\cos(\omega t - \theta) = \cos(\theta)\cos(\omega t) + \sin(\theta)\sin(\omega t)$ Por outro lado, como é apenas uma versão atrasada de, da propriedade

\begin{aligned} \cos (ω t - θ) & \to \frac{p_{0} \cos (θ) + q_{0} \sin (θ)}{2} \\ + \sum_{n = 1}^{\infty} (p_{n} \cos (θ) + r_{n} \sin (θ)) \cos (n ω t) \\ + \sum_{n = 1}^{\infty} (q_{n} \cos (θ) + s_{n} \sin (θ)) \sin (n ω t) . \end{aligned}

$\begin{align*} \cos(\omega t - \theta) &\to \frac{p_0\cos(\theta) + q_0\sin(\theta)}{2}\\ &\qquad + \sum_{n=1}^{\infty} (p_n\cos(\theta) + r_n\sin(\theta))\cos(n\omega t)\\ &\qquad + \sum_{n=1}^{\infty} (q_n\cos(\theta) + s_n\sin(\theta))\sin(n\omega t). \end{align*}$

\cos (ω t - θ) = \cos (ω (t - θ / ω))

$\cos(\omega t - \theta) = \cos(\omega (t-\theta/\omega))$

\cos (ω t)

$\cos(\omega t)$ T nós obtemos que

Essas duas séries de Fourier devem ser as mesmas, independentemente do valor de

que escolhermos. Comparando os coeficientes, vemos que

não pode ser igual

\begin{aligned} \cos (ω t - θ) & \to \frac{p_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} p_{n} \cos (n ω t - n θ) + q_{n} \sin (n ω t - n θ) \\ = \frac{p_{0}}{2} \\ + \sum_{n = 1}^{\infty} (p_{n} \cos (n θ) - q_{n} \sin (n θ)) \cos (n ω t) \\ + \sum_{n = 1}^{\infty} (q_{n} \cos (n θ) + p_{n} \sin (n θ)) \sin (n ω t) \end{aligned} .

$\begin{align*} \cos(\omega t - \theta) &\to \frac{p_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} p_n \cos(n\omega t -n\theta) + q_n \sin(n\omega t - n\theta)\\ &= \frac{p_0}{2} \\ &\qquad + \sum_{n=1}^{\infty} (p_n\cos(n\theta) - q_n\sin(n\theta))\cos(n\omega t)\\ &\qquad + \sum_{n=1}^{\infty} (q_n\cos(n\theta) + p_n\sin(n\theta))\sin(n\omega t) \end{align*}.$

θ

$\theta$

p_{0} / 2

$p_0/2$

para todos

menos que

. Da mesma forma, para qualquer

,

não pode ser igual a

etc. para todos

menos que

(p_{0} \cos (θ) + r_{0} \cos (θ)) / 2

$(p_0\cos(\theta) + r_0\cos(\theta))/2$

θ

$\theta$

p_{0} = r_{0} = 0

$p_0 = r_0 = 0$

n > 1

$n > 1$

p_{n} \cos (n θ) - q_{n} \sin (n θ)

$p_n\cos(n\theta) - q_n\sin(n\theta)$

p_{n} \cos (θ) + r_{n} \sin (θ)

$p_n \cos(\theta) + r_n\sin(\theta)$

θ

$\theta$

. No entanto, para

,

implica que

e da mesma forma

. Em outras palavras, para um sistema de LTI,

p_{n} = q_{n} = r_{n} = s_{n} = 0

$p_n = q_n = r_n = s_n = 0$

n = 1

$n=1$

p_{1} \cos (θ) - q_{1} \sin (θ) = p_{1} \cos (θ) + r_{1} \sin (θ)

$p_1\cos(\theta) - q_1\sin(\theta) = p_1\cos(\theta) + r_1\sin(\theta)$

r_{1} = - q_{1}

$r_1 = -q_1$

s_{1} = p_{1}

$s_1 = p_1$

Agora,

onde

\begin{aligned} \cos (ω t) & \to p_{1} \cos (ω t) + q_{1} \sin (ω t) \\ \sin (ω t) & \to - q_{1} \cos (ω t) + p_{1} \sin (ω t) \end{aligned} .

$\begin{align*} \cos(\omega t) &\to p_1 \cos(\omega t) + q_1\sin(\omega t)\\ \sin(\omega t) &\to -q_1 \cos(\omega t)+ p_1 \sin(\omega t)\\ \end{align*}.$

p_{1} \cos (ω t) + q_{1} \sin (ω t) = B \cos (ω t - ϕ)

$p_1 \cos(\omega t) + q_1\sin(\omega t) = B\cos(\omega t - \phi)$

e

. Portanto, as propriedadesTeHnos dão que

Qualquersinusóide de frequência

rad / s pode ser expresso como

B = \sqrt{p_{1}^{2} + q_{1}^{2}}

$B = \sqrt{p_1^2+q_1^2}$

ϕ = \arctan (q_{1} / p_{1})

$\phi = \arctan(q_1/p_1)$

A \cos (ω t - θ) \to A B \cos (ω t - ϕ - θ) .

$A\cos(\omega t - \theta) \to AB\cos(\omega t - \phi - \theta).$

ω

$\omega$

para a escolha apropriada de

e

, e portanto o resultado acima é o que precisamos.

A \cos (ω t - θ)

$A\cos(\omega t - \theta)$

A

$A$

θ

$\theta$

Propriedade SISO de sistemas lineares invariantes no tempo: Se a entrada para um sistema LTI for um sinusóide, a saída será um sinusóide da mesma frequência, mas possivelmente com amplitude e fase diferentes.

Este não é exatamente o resultado que o OP queria - ele queria uma prova de que um sistema linear (um no qual as Propriedades H e A (equivalentemente, Propriedade L ) mantêm, mas não necessariamente a Propriedade T ) possui a propriedade SISO, mas como o desenvolvimento Como mostra acima, a propriedade T deve ser mantida para provar até o resultado mais fraco que a entrada periódica resulta em produção periódica.

\cos (α - β) = \cos (α) \cos (β) + \sin (α) \sin (β) .

$\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta).$

— Dilip Sarwate
fonte

x (t)

$x(t)$

T

$T$

x (t)

$x(t)$

x (t) = A_{1} \cos (ω_{1} t) + \A_{2} \cos (ω_{2} t)

$x(t) = A_1\cos(\omega_1 t) + \A_2\cos(\omega_2 t)$

ω_{1} / ω_{2}

$\omega_1/\omega_2$

A_{1} \cos (ω_{1} t) + \A_{2} \cos (ω_{2} t) \to A_{1} B_{1} \cos (ω_{1} t - ϕ_{1}) + \A_{2} B_{2} \cos (ω_{2} t - ϕ_{2})

$A_1\cos(\omega_1 t) + \A_2\cos(\omega_2 t) \to A_1 B_1\cos(\omega_1 t - \phi_1) + \A_2B_2\cos(\omega_2 t-\phi_2)$

x (t) = \cos (π t) + \cos (\sqrt{2} t)

$x(t)=\cos(\pi t)+\cos(\sqrt{2}t)$

t \in T = [0; T]

$t\in\mathbb{T}=[0;T]$

T

$T$

T

$\mathbb{T}$

t \on t

$t\on\mathbb{t}$

[0, T]

$[0, T]$

x (t)

$x(t)$

y (t)

$y(t)$

y (t)

$y(t)$

[0, T]

$[0,T]$

\hat{y} (t)

$\hat{y}(t)$

\hat{x} (t)

$\hat{x}(t)$

t

$t$

- \infty < t < \infty

$-\infty< t < \infty$

\hat{x} (t) = x (t mod T) .

$\hat{x}(t) = x(t \bmod T).$

T

$T$

x (t)

$x(t)$

T

$T$

x (t)

$x(t)$

y (τ)

$y(\tau)$

t

$t$

x

$x$

y

$y$

y

$y$

3

Aqui está a ideia da prova. Vamos supor que podemos descrever a saída de um sistema por uma convolução,

y (t) = \int k_{t} (t - τ) f (τ) d τ

$y(t) = \int k_t(t-\tau) f(\tau) d\tau$

$k_t(t)$ $t$ $k_t(t)$ $k_t$ $t$

y (t) = \int k (t - τ) f (τ) d τ

$y(t) = \int k(t-\tau) f(\tau) d\tau$

$f(t)$ $f(t) = e^{i\omega t}$

y (t) = \int k (t - τ) e^{i ω τ} d τ = \int k (τ) e^{i ω (t - τ)} d τ = e^{i ω t} \int k (τ) e^{- i ω τ} d τ

$y(t) = \int k(t-\tau) e^{i\omega \tau} d\tau = \int k(\tau) e^{i\omega (t-\tau)} d\tau = e^{i\omega t} \int k(\tau) e^{-i\omega \tau}d\tau$

$t$ $K(\omega) := \int k(\tau) e^{-i\omega \tau}d\tau$

Assim, descobrimos que

y (t) = K (ω) e^{i ω t}

$y(t) = K(\omega) e^{i\omega t}$

$y(t)$ $K(\omega)$ $t$

$s$

Agora, pegue a transformação Laplace, para finalizar (já que a transformação Laplace leva a convolução à multiplicação),

Y (s) = K (s) F (s)

$Y(s) = K(s) F(s)$

$f$ $f(t)=e^{i\omega t}$ $\omega$ $F(s) = \delta_{w}(s)$

Y (s) = K (s) δ_{ω} (s) = K (ω) δ_{ω} (s)

$Y(s) = K(s)\delta_\omega (s) = K(\omega) \delta_\omega(s)$

$K(\omega)$ $y(t)$

Aliás, acabei de perceber que você pode encontrar a mesma idéia escrita no domínio do tempo na Wikipedia . Uma explicação de nível superior (que você pode ignorar se for muito matemática) é que a teoria dos sistemas lineares é definida através da operação de convolução, que é diagonalizada pela transformação de Fourier. Assim, um sistema cuja entrada é um vetor próprio do operador de transformação de Fourier produzirá apenas uma versão em escala de sua entrada.

— Sim
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s

$s$

ω

$\omega$

δ_{ω} (s)

$\delta_{\omega}(s)$

Y (s) = K (s) δ_{ω} s)

$Y(s) = K(s)\delta_{\omega} s)$

@DilipSarwate Eu suspeito que ele esteja usando a notação de transformação de Laplace em vez da notação de Fourier.

— Jim Clay

@sydeulissie O problema é que você afirma que K (w) é "apenas um número complexo", mas você não disse por que é apenas um número complexo em cada frequência. Esse é o coração da prova.

— Jim Clay

3

Isso tem um esboço correto, mas muitos problemas nos detalhes. Não com voto negativo, mas deve ser corrigido.

— Phonon

1

$x_1(t)$ $y_1(t) = {\cal G}(x_1(t))$ $x_2(t)$ $y_2(t) = {\cal G}(x_1(t))$

a \cdot x_{1} (t) + b \cdot x_{2} (t) \to y (t) = G (a \cdot x_{1} (t) + b \cdot x_{2} (t)) = a \cdot G (x_{1} (t)) + b \cdot G (x_{2} (t)) = a \cdot y_{1} (t) + b \cdot y_{2} (t)

$a\cdot x_1(t) + b\cdot x_2(t) \rightarrow y(t) = {\cal G}(a\cdot x_1(t) + b\cdot x_2(t)) = a\cdot {\cal G}(x_1(t)) + b\cdot {\cal G}(x_2(t)) = a\cdot y_1(t) + b\cdot y_2(t)$

$a$ $b$

A partir da definição de linearidade e requerendo ainda um sistema invariável no tempo, podemos ver diretamente que dois (ou mais sinais) não podem interferir e gerar novos componentes de frequência enquanto ainda cumprem com o requisito de linearidade. O princípio de superposição também segue diretamente da definição de linearidade.

Também a partir da definição de linearidade, segue-se o conceito de convolução para sistemas invariantes no tempo linear. Para sistemas não lineares, por exemplo, temos a série Volterra, que é uma integral de convolução multidimensional - a integral de convolução unidimensional é um caso especial da série Volterra. Isso é muito mais complicado do que as técnicas lineares. Mas, com base na convolução integral de um sistema linear, a derivação segue a mostrada por @sydeulissie.

${\cal G}: y(t) = x^2(t)$ $x_1(t)$ $y_1(t) = x_1^2(t)$ $x_2(t)$ $y_2(t) = x_2^2(t)$ $y(t)$

y (t) = {a \cdot x_{1} (t) + b \cdot x_{2} (t)}^{2} = a^{2} \cdot x_{1}^{2} (t) + b^{2} \cdot x_{2}^{2} (t) + 2 \cdot a \cdot b \cdot x_{1} (t) \cdot x_{2} (t)

$y(t) = \left\{ a\cdot x_1(t) + b\cdot x_2(t) \right\}^2 = a^2\cdot x_1^2(t) + b^2\cdot x_2^2(t) + 2\cdot a\cdot b \cdot x_1(t) \cdot x_2(t)$

ou:

y (t) = a^{2} \cdot y_{1} (t) + b^{2} \cdot y_{2} (t) \pm 2 \cdot a \cdot b \cdot \sqrt{y_{1} (t) \cdot y_{2} (t)} \neq a \cdot y_{1} (t) + b \cdot y_{2} (t)

$y(t) = a^2 \cdot y_1(t) + b^2 \cdot y_2(t) \pm 2\cdot a \cdot b \cdot \sqrt{y_1(t) \cdot y_2(t)} \neq a\cdot y_1(t) + b\cdot y_2(t)$

$x^2$ $x(t) = A\cdot \cos(2\pi f_0 t + \phi_0)$ ${\cal G}$

y (t) = x^{2} (t) = A^{2} \cdot \cos^{2} (2 π f_{0} t + ϕ_{0}) = \frac{A^{2}}{2} + \frac{A^{2}}{2} \cdot \cos (2 π 2 f_{0} t + 2 ϕ_{0})

$y(t) = x^2(t) = A^2 \cdot \cos^2(2\pi f_0 t + \phi_0) = \frac{A^2}{2} + \frac{A^2}{2}\cdot \cos(2\pi 2 f_0 t + 2\phi_0)$

$2f_0$ $x^2$

Em conclusão, pode-se observar que um sistema linear pode gerar componentes de frequência não presentes na entrada (se o sistema for variável no tempo). Se o sistema for invariante no tempo linear, a saída não poderá incluir componentes de frequência não presentes na entrada.

Obrigado a @Sarwate pelo comentário mais relevante.

— Lars1
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\cos (t)

$\cos(t)$

@DilipSarwate Então, é que apenas os sistemas LTI têm essa propriedade?

— Phonon

Acabei de verificar alguns livros para estar do lado seguro. Na verdade, parece haver alguma diferença nos detalhes. Uma definição no livro de Yang e Lee sobre sistemas de circuito de 2007 diz: "Um sistema é considerado linear se o princípio de superposição se mantiver, ou seja, sua saída para uma combinação linear de várias entradas arbitrárias é a mesma que a combinação linear das saídas para entradas individuais ". A esse respeito, o exemplo de Sarwate é linear - mas não invariante no tempo. Outros árbitros são menos precisos. Graças a @Sarwate.

— Lars1

11

Comentário referido por Lars1 com erros tipográficos corrigidos: considere o sistema que produz a saída

x (t) \cos (t)

$x(t)\cos(t)$

x (t)

$x(t)$

a x_{1} (t) + b x_{2} (t)

$ax_1(t)+bx_2(t)$

(a x_{1} (t) + b x_{2} (t)) \cos (t) = a \cdot x_{1} (t) \cos (t) + b \cdot x_{2} (t) \cos (t)

$(ax_1(t)+bx_2(t))\cos(t)=a⋅x_1(t)\cos(t) +b⋅x_2(t)\cos(t)$

@Sarwate Como o sistema que produz a saída x (t) cos (t) no tempo varia? Eu sou iniciante em DSP's

— Hobyist

1

Como Dilip Sarwate apontou, apenas os sistemas lineares invariáveis por mudança de marcha (LSIV) têm a propriedade SISO (saída sinusóide inossusóide).

$e^{\jmath \omega t}$

— chaohuang
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