Zero, primeiro, segundo ... espera de segunda ordem

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A função retangular é definida como:

r e c t (t) = {\begin{cases} 0 & if | t | > \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & if | t | = \frac{1}{2} \\ 1 & if | t | < \frac{1}{2} . \end{cases}

$\mathrm{rect}(t) = \begin{cases} 0 & \mbox{if } |t| > \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \mbox{if } |t| = \frac{1}{2} \\ 1 & \mbox{if } |t| < \frac{1}{2}. \\ \end{cases}$

A função triangular é definida como: É a convolução de duas funções retangulares unitárias idênticas: Espera de ordem zero e Primeira em espera, use essas funções. De fato, ele possui: para retenção de ordem zero e para espera de primeira ordem. Desde a

tri (t) = {\begin{cases} 1 - | t |, & | t | < 1 \\ 0, & otherwise \end{cases}

$\operatorname{tri}(t) = \begin{cases} 1 - |t|, & |t| < 1 \\ 0, & \mbox{otherwise} \end{cases}$

tri (t) = rect (t) * rect (t) = \int_{- \infty}^{\infty} r e c t (τ) \cdot r e c t (t - τ) d τ

$\operatorname{tri}(t) = \operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t) \quad = \int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(\tau) \cdot \mathrm{rect}(t-\tau)\ d\tau$

x_{Z O H} (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n) r e c t (t - n)

$x_{\mathrm{ZOH}}(t)\,= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)\, \mathrm{rect} \left(t-n\right) \$

x_{F O H} (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n) t r i (t - n)

$x_{\mathrm{FOH}}(t)\,= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)\, \mathrm{tri} \left(t-n\right) \$

tri (t) = rect (t) * rect (t)

$\operatorname{tri}(t) = \operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)$ , gostaria de saber se isso é apenas uma coincidência ou se, para a segunda ordem, manter a resposta ao impulso é É verdade também para uma ordem ordem geral ? Ou seja, coloque

where

é a resposta de impulso da ordem

ésima, eu gostaria de saber se a resposta de impulso é

tri (t) * tri (t) = (rect (t) * rect (t)) * (rect (t) * rect (t)) .

$\operatorname{tri}(t)*\operatorname{tri}(t)=\left(\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\right)*\left(\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\right).$

k

$k$

x_{K - T H} (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n) g_{k} (t - n)

$x_{\mathrm{K-TH}}(t)\,= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)\, \mathrm{g}_k \left(t-n\right) \$

g_{k} (t - n)

$\mathrm{g}_k \left(t-n\right)$

k

$k$

g_{k} (t - n) = (rect (t) * rect (t)) * \dots * (rect (t) * rect (t)),

$\mathrm{g}_k \left(t-n\right)=\left(\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\right)* \dots * \left(\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\right),$ k vezes.

sampling interpolation

— Marca
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eu não vi uma referência para uma ordem ésima para . eu esperaria que fosse a função convoluada vezes. mas eu não sei qual é a definição.

k

$k$

k > 1

$k>1$

rect (t)

$\operatorname{rect}(t)$

k - 1

$k-1$

— Robert Bristow-johnson

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@ robertbristow-johnson: em analogia com uma retenção de ordem zero (interpolação polinomial de ordem zero, ou seja, constante por partes), e uma retenção de primeira ordem (interpolação polinomial de primeira ordem, ou seja, linear por partes), uma retenção de n-ésima ordem é uma interpolação por partes de um polinômio de n-ésima ordem. É mencionado aqui (p. 6).

— Matt L.

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Estes e o que @ robertbristow-johnson descreve em sua resposta abaixo são chamados de B-splines.

— Olli Niemitalo

alguém pode mostrar com uma matriz de imagem com fator 2, por favor? E, não estou muito claro sobre o fator aqui.

— user30462

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Este não é o caso. Antes de tudo, uma retenção de segunda ordem usaria três pontos de amostra para calcular um polinômio de interpolação, mas sua resposta de impulso sugerida é diferente de zero em um intervalo de tamanho (assumindo um intervalo de amostra de , como você faz na sua pergunta). No entanto, a resposta ao impulso correspondente a uma retenção de segunda ordem deve ter um suporte de comprimento . $\text{tri}(t)\star\text{tri}(t)$ $4$ $T=1$ $3$

Agora você poderia sugerir que um -order espera poderia ter uma resposta ao impulso que é a convolução de funções retangulares. Nesse caso, você obteria o tamanho de suporte correto, mas é claro que isso não é suficiente. $n^{th}$ $n$

Um -order preensão calcula uma interpolação peça-sábio usando pontos de dados consecutivos. Isso está em analogia com uma retenção de ordem zero usando um único ponto de dados e uma retenção de primeira ordem, que usa dois pontos de dados. Essa definição é comumente usada na literatura (veja, por exemplo, aqui e aqui ). $n^{th}$ $n+1$

É simples mostrar que o polinômio de segunda ordem que interpola três pontos de dados , e é dado por $y[-1]$ $y[0]$ $y[1]$

\begin{matrix} (1) & P (t) = y [- 1] \frac{t (t - 1)}{2} + y [0] (1 - t^{2}) + y [1] \frac{t (t + 1)}{2} \end{matrix}

$P(t)=y[-1]\frac{t(t-1)}{2}+y[0](1-t^2)+y[1]\frac{t(t+1)}{2}\tag{1}$

Para encontrar a resposta de impulso alcançando a interpolação dada por , temos que equiparar com a expressão $(1)$ $(1)$

\begin{matrix} (2) & y [- 1] h (t + 1) + y [0] h (t) + y [1] h (t - 1) \end{matrix}

$y[-1]h(t+1)+y[0]h(t)+y[1]h(t-1)\tag{2}$

Se escolhermos o suporte da resposta de impulso como o intervalo , que é equivalente a escolher o intervalo de interpolação , a equação e resulta no seguinte impulso resposta de uma retenção de segunda ordem: $h(t)$ $[-1,2]$ $[0,1]$ $(1)$ $(2)$

\begin{matrix} (3) & h (t) = {\begin{cases} \frac{1}{2} (t + 1) (t + 2), & - 1 < t < 0 \\ 1 - t^{2}, & 0 \leq t \leq 1 \\ \frac{1}{2} (t - 1) (t - 2), & 1 < t < 2 \\ 0, & otherwise \end{cases} \end{matrix}

$h(t)=\begin{cases}\frac12(t+1)(t+2),&\quad -1<t<0\\ 1-t^2,&\quad0\le t \le 1\\ \frac12 (t-1)(t-2),&\quad 1<t<2\\ 0,&\quad\text{otherwise}\end{cases}\tag{3}$

A resposta ao impulso de uma retenção de segunda ordem é assim: $(3)$

Deixo a você mostrar que essa resposta ao impulso não pode ser gerada pela convolução de três funções retangulares.

— Matt L.
fonte

Matt, você pode fornecer uma referência para sua representação do que é uma reserva de segunda ordem. Estou 100% convencido de que o enredo está errado.

— 22816 Robert Bristow-Johnson

Eu corrigi a Eq. (1) (supondo que a premissa esteja correta). deixarei para você refletir isso em

.

h (t)

$h(t)$

— 224166 robert bristow-johnson

@ robertbristow-johnson: eu desfiz sua edição, porque sua "correção" estava errada. Minha equação fornece

, como deve ser o caso; o seu fornece

. Vou deixar para você refletir por que isso está errado.

P (- 1) = y [- 1]

$P(-1)=y[-1]$

P (- 1) = - y [- 1]

$P(-1)=-y[-1]$

— Matt L.

Eu estou corrigido sobre a "correção". perdi a conta do número de sinais negativos. (na verdade, eu estava pensando que

. que está fora por um sinal de menos eu fiz um pouco mais olhando ao redor. ninguém parece ser particularmente explícito.

(t - 1) = 2

$(t-1)=2$

— Robert Bristow-johnson

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então é por isso que eu acho que uma ordem de ésima retida é um $n$ convolveu-sevezes. $\operatorname{rect}\left( \frac{t - T/2}{T} \right)$ $n$

A Wikipedia não é a referência final de todas as coisas, mas há algo que eu cheirei a partir daí. considere amostragem e reconstrução (o Shannon Whittaker, qualquer que seja a fórmula). Se a entrada é limitado em banda original é e as amostras são que de entrada bandlimited pode ser reconstruído a partir das amostras com $x(t)$ $x[n]\triangleq x(nT)$

x (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] sinc (\frac{t - n T}{T})

$x(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \ \operatorname{sinc}\left( \frac{t - nT}{T} \right)$

que é a saída de um filtro brickwall ideal com resposta de frequência:

\begin{aligned} H (f) & = rect (f T) \\ = {\begin{cases} 1 | f | < \frac{1}{2 T} \\ 0 | f | > \frac{1}{2 T} \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} H(f) &= \operatorname{rect}(fT) \\ &= \begin{cases} 1 \quad |f| < \frac{1}{2T} \\ 0 \quad |f| > \frac{1}{2T} \\ \end{cases} \end{align}$

quando conduzido pela função de amostra ideal

\begin{aligned} x_{s} (t) & = x (t) \cdot \sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (\frac{t - n T}{T}) \\ = x (t) \cdot T \sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (t - n T) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (t) δ (t - n T) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n T) δ (t - n T) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] δ (t - n T) \end{aligned}

$\begin{align} x_\text{s}(t) & = x(t) \cdot \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \delta\left( \frac{t - nT}{T} \right) \\ & = x(t) \cdot T \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT) \\ & = T \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x(t) \delta(t - nT) \\ & = T \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x(nT) \delta(t - nT) \\ & = T \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \delta(t - nT) \\ \end{align}$

$x_\text{s}(t)$ $H(f)$ $x(t)$ $T$ $H(f)$ $1$

isso significa que a resposta de impulso deste filtro brickwall ideal é

\begin{aligned} h (t) & = F^{- 1} {H (f)} \\ = \frac{1}{T} sinc (\frac{t}{T}) \end{aligned}

$\begin{align} h(t) & = \mathcal{F}^{-1} \left\{ H(f) \right\} \\ & = \frac1T \operatorname{sinc}\left( \frac{t}{T} \right) \\ \end{align}$

$x(t)$

x (t) = h (t) ⊛ x_{s} (t)

$x(t) = h(t) \circledast x_\text{s}(t)$

$h(t)$

$x[n]$

x_{DAC} (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] rect (\frac{t - n T - \frac{T}{2}}{T})

$x_\text{DAC}(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \ \operatorname{rect}\left( \frac{t - nT - \tfrac{T}2}{T} \right)$

e pode ser modelado como um filtro com resposta ao impulso

h_{ZOH} (t) = \frac{1}{T} rect (\frac{t - \frac{T}{2}}{T})

$h_\text{ZOH}(t) = \frac1T \operatorname{rect}\left( \frac{t-\tfrac{T}2}{T} \right)$

$x_\text{s}(t)$

x_{DAC} (t) = h_{ZOH} (t) ⊛ x_{s} (t)

$x_\text{DAC}(t) = h_\text{ZOH}(t) \circledast x_\text{s}(t)$

and the frequency response of the implied reconstruction filter is

\begin{aligned} H_{ZOH} (f) & = F^{- 1} {h_{ZOH} (t)} \\ = \frac{1 - e^{j 2 π f T}}{j 2 π f T} \\ = e^{j π f T} sinc (f T) \end{aligned}

$\begin{align} H_\text{ZOH}(f) &= \mathcal{F}^{-1}\{ h_\text{ZOH}(t) \} \\ &= \frac{1 - e^{j 2 \pi f T}}{j 2 \pi f T} \\ &= e^{j \pi f T} \operatorname{sinc}(fT) \\ \end{align}$

note the constant half-sample delay in this frequency response. that's where the Zero-order hold comes from.

so, while the ZOH has the same DC gain as the ideal brickwall reconstruction but not the same gain at other frequencies. in addition, the images in $x_\text{s}(t)$ aren't fully beaten down as would be with the brickwall, but they're beaten down a bit.

so why, in the POV of the time domain, is this? i think it's because of the discontinuities in $x_\text{DAC}(t)$ . it's not as bad as the sum of dirac impulses in $x_\text{s}(t)$ , but $x_\text{DAC}(t)$ has jump discontinuities.

how do you get rid of jump discontinuities? maybe turn them into discontinuities of the first derivative. and you do that by used if integration in the continuous time domain. so a first-order hold is one where the output of the DAC is run through an integrator with transfer function $\frac{1}{j 2 \pi f T}$ but we try to undo the effects of integrator with a differentiator done in the discrete-time domain. the output of that discrete-time differentiator is $x[n] - x[n-1]$ or Z-transform $X(z) - z^{-1}X(z) = X(z)(1 - z^{-1})$

the transfer function of that differentiator is $(1 - z^{-1})$ or, in the continuous Fourier domain, $(1 - (e^{j 2 \pi f T})^{-1}) = 1 - (e^{-j 2 \pi f T})$ . this makes the transfer function of the first-order hold that of the continuous-time integrator, the discrete-time differentiator, and the ZOH of the DAC all multiplied together.

\begin{aligned} H_{FOH} (f) & = F^{- 1} {h_{FOH} (t)} \\ = {(\frac{1 - e^{j 2 π f T}}{j 2 π f T})}^{2} \\ = e^{j 2 π f T} {sinc}^{2} (f T) \end{aligned}

$\begin{align} H_\text{FOH}(f) &= \mathcal{F}^{-1}\{ h_\text{FOH}(t) \} \\ &= \left( \frac{1 - e^{j 2 \pi f T}}{j 2 \pi f T} \right)^2 \\ &= e^{j 2 \pi f T} \operatorname{sinc}^2(fT) \\ \end{align}$

the impulse response of this is

\begin{aligned} h_{FOH} (t) & = F {H_{FOH} (f)} \\ = (rect (\frac{t - \frac{T}{2}}{T})) ⊛ (rect (\frac{t - \frac{T}{2}}{T})) \\ = \frac{1}{T} tri (\frac{t - T}{T}) \end{aligned}

$\begin{align} h_\text{FOH}(t) &= \mathcal{F}\{ H_\text{FOH}(f) \} \\ &= \left( \operatorname{rect}\left( \frac{t-\tfrac{T}{2}}{T}\right) \right) \circledast \left( \operatorname{rect}\left( \frac{t-\tfrac{T}{2}}{T}\right) \right) \\ &= \frac{1}{T} \operatorname{tri}\left( \frac{t-T}{T} \right) \\ \end{align}$

now, continuing with this further, the second-order hold would have both continuous zeroth and first derivatives. it does this by integrating again in the continuous-time domain and trying to make up for it in the discrete-time domain with another differentiator. that tosses in another $e^{j \pi f T} \operatorname{sinc}(fT)$ factor which means convolving with another $\operatorname{rect}\left( \frac{t-\tfrac{T}{2}}{T}\right)$ .

— robert bristow-johnson
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This will finally converge to a Gaussian impulse response, and I can't make much intuitive sense of this. I strongly believe that an n-th order hold is - in complete analogy with ZOH and FOH - an n-th order polynomial interpolator. I share this view with several other authors: e.g., these ones and this one. I haven't seen your interpretation of an n-th order hold anywhere else.

— Matt L.

a very long Gaussian. the impulse response of an

n

$n$ -th order hold will be

n + 1

$n+1$ adjacent sections of piecewise

n

$n$ -th order polynomials concatenated in such a way that all of the derivatives, up to the

(n - 1)

$(n-1)$ -th derivative will be continuous. and i think it's causal. BTW, i haven't finished the answer yet. sorta crapped out on it, but i plan to tie it all together eventually. and i'll fix a whole lotta grammar

— 22816 Robert Bristow-Johnson

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Another question was marked as a duplicate of this. There it was asked also what polygonal hold is. It and polygon hold seem to be synonyms for linear interpolation, where "dots are connected" rather than the output looking like a saw as in predictive first-order hold. Connecting the samples with lines requires knowing the next sample in advance so that the line may be aimed at the correct direction. In the context of real-time control systems where the samples are not known in advance, it means that the output must be delayed by one sampling period for the lines to connect at the samples.

Polynomial hold (not polygonal hold) includes both zero-order hold and first-order hold.

— Olli Niemitalo
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