Por que o sistema LTI não pode gerar novas frequências?

9

Por que implica que um sistema LTI não pode gerar novas frequências? $Y (\omega) = X(\omega)H(\omega)$
Por que se um sistema gera novas frequências, não é LTI?

convolution time-frequency

— DO UTILIZADOR
fonte

15

Uma das características definitivas dos sistemas LTI é que eles não podem gerar novas frequências que ainda não estejam presentes em suas entradas. Observe que, neste contexto, uma frequência refere-se a sinais do tipo ou que têm duração infinita e também são chamados de funções próprias da LTI sistemas (especificamente apenas para o exponencial complexo) e cujas transformadas CT Fourier são expressas por funções de impulso no domínio da frequência como ou $x(t)=e^{j\Omega_0 t}$ $\cos(\Omega_0 t)$ $X(\Omega) =2\pi \delta (\Omega - \Omega_0)$ $X(\Omega)=\pi \delta (\Omega - \Omega_0) + \pi \delta (\Omega + \Omega_0)$ respeitosamente.

Uma maneira de entender por que isso ocorre é observar a CTFT, , da saída , que é dada pela conhecida relação somente quando o sistema é LTI (e também estável , de fato, para que exista). $Y(\omega)$ $y(t)$ $Y(\omega) = H(\omega)X(\omega)$ $H(e^{j \omega})$

(ie retém apenas quando a resposta ao impulso existe e existirá apenas quando o sistema for LTI.)

y (t) = \int_{- \infty}^{\infty} x (τ) h (t - τ) d τ ⟷ Y (ω) = X (ω) H (ω),

$y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau \longleftrightarrow Y(\omega)=X(\omega)H(\omega),$

h (t)

$h(t)$

De um pouco de reflexão, guiada por um gráfico simples, e usando a propriedade de multiplicação acima, pode-se ver que a região de frequência de suporte (conjunto de frequências para as quais é diferente de zero), da saída é dada pela interseção das regiões de suporte e das entradas e resposta de frequência do sistema LTI: $R_y$ $Y(\omega)$ $Y(\omega)$ $R_x$ $R_h$ $X(\omega)$ $H(\omega)$

R_{y} = R_{x} \cap R_{h}

$R_y = R_x \cap R_h$

E a partir conjunto álgebra sabemos que, se então e . Ou seja, uma interseção é sempre menor ou equivalente ao que está sendo interceptado. Portanto, a região de suporte para será menor ou no máximo igual ao suporte de . Portanto, nenhuma nova frequência será observada na saída. $A = B \cap C$ $A \subset B$ $A \subset C$ $Y(\omega)$ $X(\omega)$

Como essa propriedade é uma condição necessária para ser um sistema de LTI , qualquer sistema que não a possua, portanto, não pode ser LTI.

— Fat32
fonte

9

Você pode fazer um argumento algébrico simples, considerando a premissa que você forneceu. E se:

Y (ω) = X (ω) H (ω)

$Y(\omega) = X(\omega) H(\omega)$

onde é o espectro do sinal de entrada e ) é a resposta em frequência do sistema, é óbvio que, se houver algum no sinal de entrada para o qual , então também; não há fator que você possa multiplicar para gerar um valor diferente de zero. $X(\omega)$ $H(\omega$ $\omega$ $X(\omega) = 0$ $Y(\omega) = 0$ $H(\omega)$

Com isso dito, estabelecer a verdade da premissa que comecei acima para os sistemas de LTI exige algum trabalho. No entanto, se considerarmos que isso é verdade, o fato de um sistema LTI não poder introduzir nenhum novo componente de frequência em sua saída segue diretamente.

— Jason R
fonte

a prova seria mostrar que, para qualquer sinal suficientemente bem comportado, a transformada de Fourier é invertível e o FT e seu inverso são lineares. Todo sinal com uma frequência é suficientemente bem-comportado.

— Marcus Müller

3

Por que implica que um sistema LTI não pode gerar novas frequências? $Y(ω)=X(ω)H(ω)$

Se uma certa frequência não estiver presente em nossa entrada, . Como 0 obedece à identidade multiplicativa , . Portanto, a frequência não está presente no sinal de saída. $\omega_\text{abs}$ $X(\omega_\text{abs}) = 0$ $\forall x\in \mathbb{R},~ 0 \cdot x = 0$ $Y(\omega_\text{abs}) = 0$ $\omega_\text{abs}$

Por que se um sistema gera novas frequências, não é LTI?

Digamos que nossa entrada seja . Então, se assumirmos que nosso sistema pode gerar novas frequências, é possível obter a saída . Como não podemos encontrar as constantes modo que , nosso sistema não é LTI. $x(t) = \cos(t)$ $y(t) = \cos(2\cdot t)$ $c_1, c_2$ $y(t) = c_1 \cos(t - c_2)$

— Scott
fonte

Não para verificar LTI apenas c1 usado, e não também c2?

— USUÁRIO

11

Eu diria que o primeiro ponto, que é essencialmente o de que você não pode obter algo diferente de zero multiplicando zero por nada, essa é a resposta concisa.

— Robert Bristow-johnson

c1 é usado para linearidade, c2 é usado para mudança de tempo. Poderíamos ter um sistema de LTI que atrasa tudo em 1 unidade de tempo.

— Scott

1

Um sistema LTI é diagonalizado por frequências puras . Senos / cossenos são autovetores do sistema linear. Em outras palavras, qualquer entrada de seno ou cosseno diferente de zero (ou um cisoide complexo) tem uma saída de seno ou cosseno da mesma frequência exatamente (mas a amplitude de saída pode desaparecer).

A única coisa que pode mudar é a amplitude ou a fase. Portanto, se você não tem seno com uma determinada frequência na entrada, não recebe nada (zero) com essa frequência na saída.

A segunda pergunta é respondida por contraposição ou regra falsa: se é verdadeiro, então . Se um sistema for LTI, ele não gera novas frequências. Se um sistema gera novas frequências, não é LTI. $A\implies B$ $\overline{B}\implies \overline{A}$

— Laurent Duval
fonte