Como você lida com frequências negativas no espectro de potência de um sinal complexo?

Quando aplicamos a operação DFT em um sinal real para obter , obtemos a magnitude quadrada de , , o espectro de potência é simétrico. Você pode considerar as frequências positivas ou negativas como informações de frequência em . $x[n]$ $X[k]$ $X[k]$ $\lvert X[k]\rvert^2$ $X[k]$

No entanto, isso não é verdade para sinais com valor complexo; o espectro de potência não é simétrico.

Nesse caso, como você determinaria os componentes de frequência no sinal original?
Podemos simplesmente largar a parte da frequência negativa?

fft frequency-spectrum

— Mike
fonte

Observe que as frequências positivas e negativas são combinações lineares de seno e cosseno; portanto, são necessárias frequências positivas e negativas para obter a fase correta. Para sinais complexos, você deve adicionar a potência em ambas as frequências para obter a potência total nessa frequência.

— Christopher Crawford

Respostas:

Para um sinal real, o conteúdo nas frequências negativas geradas usando o DFT é redundante. Isso ocorre devido à propriedade conhecida dos sinais reais em relação à família de transformadas de Fourier: suas transformações são simétricas hermitianas . Ou seja, para qualquer sinal real , $x[n]$

X [k] = \sum_{n = 0 0}^{N - 1 1} x [n] e^{- j 2 π n k / N} = (\sum_{n = 0 0}^{N - 1 1} x [n] e^{- j (- 2 π n k / N)})^{*} = X [- k] = X [N - k]

$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1}x[n] e^{-j2\pi n k / N} = (\sum_{n=0}^{N-1}x[n] e^{-j(-2\pi n k / N)})^* = X[-k] = X[N - k]$

Portanto, se sua entrada é um sinal real, todas as informações estão nos compartimentos de frequência positiva; as frequências negativas podem ser descartadas para muitas aplicações. No entanto, não existe essa propensão para sinais complexos gerais. Eles podem ter espectros de potência assimétricos sobre a frequência zero, portanto, você não pode descartar nenhum dos compartimentos de frequência do espectro de potência de um sinal complexo sem perda de informações.

— Jason R
fonte

Eu acho que a relação entre

é:

X [k]

$X[k]$

X [N - k]

$X[N-k]$

X [N - k] = \sum_{n = 0 0}^{N - 1 1} x [n] e^{- j 2 π n (N - k) / N} = \sum_{n = 0 0}^{N - 1 1} x [n] e^{- j 2 π N n / N} e^{j 2 π n k / N} = \sum_{n = 0 0}^{N - 1 1} x [n] e^{j 2 π n k / N} = (X [k])^{*}

$X[N-k] = \sum_{n=0}^{N-1}x[n] e^{-j2\pi n (N-k) / N} = \sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi N n/N} e^{j2\pi n k / N} =\sum_{n=0}^{N-1}x[n] e^{j2\pi n k / N}=(X[k])^*$

— Mike

X [- k]

$X[-k]$

X [N - k]

$X[N-k]$

No caso de real, podemos cair, por exemplo, na prática, quando você usa o analisador de espectro; para ondas reais, é mais simples ver a metade porque o outro lado é espelho. Mas em caso de sinal complexo, nenhum dispositivo real responde e você tem estudos teóricos, portanto, mantenha os dois lados.

— Hossein
fonte

se eu tenho um sinal complexo composto por duas frequências próximas, no PSD, descobri que o lado da frequência positiva mostra dois picos, enquanto o lado negativo mostra um pico. Então, posso concluir que o sinal tem duas frequências?

— Mike

Não, você não pode dizer porque o sinal é complexo.

— Hossein

qual é o significado físico para a frequência negativa?

— Mike

@Mike dsp.stackexchange.com/questions/431/…

— GummiV

@ Mike Eu acredito que posso ter respondido isso ... [consulte] ( dsp.stackexchange.com/questions/431/… )

— Spacey