Encontrar aproximações polinomiais de uma onda senoidal

Eu quero aproximar a onda senoidal dada por aplicando um formador de ondas polinomial a uma onda triangular simples , gerada pela função$\sin\left(\pi x\right)$

$$T\left(x\right)=1-4\left|\tfrac{1}{2}-\operatorname{mod}(\tfrac{1}{2}x+\tfrac{1}{4},\ 1)\right|$$

onde é a parte fracionária de :$\operatorname{mod}(x, 1)$$x$

$$\operatorname{mod}(x, y) \triangleq y \cdot \left( \left\lfloor \frac{x}{y}\right\rfloor - \frac{x}{y} \right)$$

Uma série de Taylor poderia ser usada como um formador de ondas.

$$S_1\left(x\right)=\frac{\pi x}{2}-\frac{\frac{\pi x}{2}^3}{3!}+\frac{\frac{\pi x}{2}^5}{5!}-\frac{\frac{\pi x}{2}^7}{7!}$$

Dadas as funções acima, $S_1(T(x))$ nos proporcionará uma aproximação decente de uma onda senoidal. Mas precisamos subir até a 7ª potência da série para obter um resultado razoável, e os picos são um pouco baixos e não terão uma inclinação exatamente igual a zero.

Em vez da série Taylor, poderíamos usar um modelador de ondas polinomial seguindo algumas regras.

• Deve passar por -1, -1 e + 1, + 1.
• A inclinação em -1, -1 e + 1, + 1 deve ser zero.
• Deve ser simétrico.

Uma função simples que atende aos nossos requisitos:

$$S_2\left(x\right)=\frac{3x}{2}-\frac{x^3}{2}$$

Os gráficos de $S_2(T(x))$ e $\sin\left(\pi x\right)$ estão bem próximos, mas não tão próximos quanto a série de Taylor. Entre os picos e os cruzamentos de zero, eles visivelmente se desviam um pouco. Uma função mais pesada e precisa, atendendo aos nossos requisitos:

$$S_3\left(x\right)=\frac{x(x^2-5)^2}{16}$$

Provavelmente, isso é próximo o suficiente para meus propósitos, mas fico imaginando se existe outra função que se aproxima mais da onda senoidal e é computacionalmente mais barata. Eu tenho uma noção muito boa de como encontrar funções que atendam aos três requisitos acima, mas não tenho certeza de como encontrar funções que atendam a esses requisitos e também se assemelhem mais a uma onda senoidal.

Quais métodos existem para encontrar polinômios que imitam uma onda senoidal (quando aplicados a uma onda triangular)?

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Para esclarecer, não estou necessariamente procurando apenas polinômios ímpares-simétricos, embora essas sejam a escolha mais direta.

Algo como a seguinte função também pode atender às minhas necessidades:

$$S_4\left(x\right)=\frac{3x}{2}+\frac{x^2}{4}+\frac{x^4}{4}$$

Isso atende aos requisitos na faixa negativa e uma solução por partes pode ser usada para aplicá-la também na faixa positiva; por exemplo

$$\frac{3x}{2}-\frac{P\left(x,2\right)}{4}-\frac{P\left(x,4\right)}{4}$$

onde é a função de potência assinada .$P$

Eu também estaria interessado em soluções usando a função power assinada para suportar expoentes fracionários, pois isso nos dá outro "botão para girar" sem adicionar outro coeficiente.

$$a_0x\ +a_1P\left(x,\ p_1\right)$$

Dadas as constantes corretas, isso poderia potencialmente obter uma precisão muito boa sem o peso dos polinômios de quinta ou sétima ordem. Aqui está um exemplo que atende aos requisitos descritos aqui usando algumas constantes escolhidas a dedo: .$a_0=1.\overline{666}, a_1=-0.\overline{666}, p_1=2.5$

$$\frac{5x-2P\left(x,\ \frac{5}{2}\right)}{3}$$

Na verdade, essas constantes são muito perto de , e , e . Conectá-los fornece algo que parece extremamente próximo a uma onda senoidal. 1-$\frac \pi 2$$1 - \frac \pi 2$$e$

$$\frac{\pi}{2}x\ +\left(1-\frac{\pi}{2}\right)P\left(x,e\right)$$

Em outras , parece muito próximo de entre 0,0 e π / 2,1. Alguma opinião sobre o significado disso? Talvez uma ferramenta como o Octave possa ajudar a descobrir as "melhores" constantes para essa abordagem. sin(x$x-\frac{x^e}{6}$$\sin(x)$

cerca de uma década atrás eu fiz isso para uma empresa de sintetizadores de música sem nome que tinha P&D não muito longe do meu condomínio em Waltham MA. (Não consigo imaginar quem são.) Não tenho os coeficientes.

mas tente o seguinte:

$$\begin{align} f(x) &\approx \sin\left(\tfrac{\pi}{2} x \right) \qquad \qquad \text{for }-1 \le x \le +1 \\ \\ &= \tfrac{\pi}{2} x (a_0 + a_1 x^2 + a_2 x^4) \\ \end{align}$$

isso garante que .$f(-x) = -f(x)$

Para garantir que então$f'(x) \Big|_{x=\pm1} =0$

$$f'(x) = \tfrac{\pi}{2}( a_0 + 3 a_1 x^2 + 5 a_2 x^4)$$

$$a_0 + 3 a_1 + 5 a_2 = 0 \tag{1}$$

Essa é a primeira restrição. Para garantir que , então$|f(\pm 1)| = 1$

$$a_0 + a_1 + a_2 = \tfrac{2}{\pi} \tag{2}$$

Essa é a segunda restrição. Eliminando e resolvendo as Eqs. (1) e (2) para em termos de (que resta ajustar):a 2 a $a_0$$a_2$$a_1$

$$a_0 = \tfrac{5}{2 \pi} - \tfrac{1}{2} a_1$$

$$a_2 = -\tfrac{1}{2 \pi} - \tfrac{1}{2} a_1$$

Agora você tem apenas um coeficiente, , que pode ser modificado para obter o melhor desempenho:$a_1$

$$f(x) = \tfrac{\pi}{2} x \left((\tfrac{5}{2 \pi} - \tfrac{1}{2} a_1) + a_1 x^2 - (\tfrac{1}{2 \pi} + \tfrac{1}{2} a_1)x^4 \right)$$

É dessa maneira que eu ajustaria o para obter o melhor desempenho para um oscilador de onda senoidal. Eu ajustaria o uso acima e a simetria da onda senoidal em torno de e colocaria exatamente um ciclo inteiro em um buffer com uma potência de dois números de pontos (digamos 128, não me importo) e executaria a FFT nesse ciclo perfeito. x = $a_1$$x=1$

O compartimento de resultado 1 da FFT será a força do seno e deve ser de cerca de . Agora você pode ajustar para aumentar e diminuir a distorção da 3ª harmônica. Eu começaria com para que . Isso está no compartimento 3 dos resultados da FFT. Mas a distorção do 5º harmônico (valor no compartimento 5) será conseqüente (aumentará à medida que o terceiro harmônico diminuir). Eu ajustaria para que a força do 5º nível harmônico seja igual ao 3º nível harmônico. Será em torno de -70 dB a partir do 1º harmônico (se bem me lembro). Essa será a onda senoidal mais agradável de um polinômio barato, de 3-coeficiente, 5ª ordem e ímpar-simétrico.a 1 a 1 ≈ $N/2$$a_1$a0≈1a$a_1 \approx \tfrac{5}{\pi} - 2$$a_0 \approx 1$$a_1$

Outra pessoa pode escrever o código MATLAB. Como isso soa para você?

O que geralmente é feito é uma aproximação que minimiza algumas normas do erro, geralmente a forma (onde o erro máximo é minimizado) ou a forma L 2 (onde o erro quadrado médio é minimizado). L ∞ -approximation é feito usando o algoritmo de troca de Remez . Tenho certeza que você pode encontrar algum código-fonte aberto implementando esse algoritmo. No entanto, neste caso, acho que uma otimização l 2 muito simples (discreta) é suficiente. Vejamos alguns códigos do Matlab / Octave e os resultados:$L_{\infty}$$L_2$$L_{\infty}$$l_2$

x = espaço interno (0, pi / 2.300); % grade em [0, pi / 2]
x = x (:);
% sistema sobredeterminado de equações lineares
% (usando apenas poderes ímpares)
A3 = [x, x. ^ 3];
A5 = [x, x. ^ 3, x. ^ 5];
b = sin (x);
% de resolução no sentido l2
c3 = A3 \ b;
c5 = A5 \ b;
f3 = A3 * c3; % Aproximação de terceira ordem
f5 = A5 * c5; % Aproximação de 5ª ordem

A figura abaixo mostra os erros de aproximação para o -order e para o 5 t h -order aproximações. Os erros máximos de aproximação são e , respectivamente.$3^{rd}$$5^{th}$8.8869e-031.5519e-04

Os coeficientes ótimos são

c3 =
   0.988720369237930
  -0.144993929056091

e

c5 =
   0.99976918199047515
  -0.16582163562776930
   0.00757183954143367

Portanto, a aproximação de terceira ordem é

$$\sin(x)\approx 0.988720369237930x-0.144993929056091x^3,\quad x\in[-\pi/2,\pi/2]\tag{1}$$

e a aproximação de quinta ordem é

$$\sin(x)\approx 0.99976918199047515x-0.16582163562776930x^3+\\0.00757183954143367x^5,\quad x\in[-\pi/2,\pi/2]\tag{2}$$

EDITAR:

Dei uma olhada nas aproximações com a função de potência assinada, conforme sugerido na pergunta, mas a melhor aproximação dificilmente é melhor do que a aproximação de terceira ordem mostrada acima. A função de aproximação é

$$f(x)=x - \frac{1}{p}\left(\frac{\pi}{2}\right)^{1-p}x^p,\qquad x\in[0,\pi/2]\tag{3}$$

onde as constantes foram escolhidos de tal modo que e f ' ( π / 2 ) = 0 . A potência p foi otimizada para obter o menor erro máximo no intervalo [ 0 , π / 2 ] . O valor ótimo para p foi encontrado como p = 2,774 . A figura abaixo mostra os erros de aproximação para a aproximação de terceira ordem ( 1 ) e para a nova aproximação ( $f'(0)=1$$f'(\pi/2)=0$$p$$[0,\pi/2]$$p$$p=2.774$$(1)$ :$(3)$

O erro máximo de aproximação da aproximação é , mas observe que a aproximação de terceira ordem só excede esse erro próximo de π / 2 e que, na maioria das vezes, seu erro de aproximação é realmente menor que o da função de potência assinada.$(3)$4.5e-3$\pi/2$

EDIT 2:

Se você não se importa com a divisão, também pode usar a fórmula de aproximação senoidal de Bhaskara I , que possui um erro máximo de aproximação de 1.6e-3:

$$\sin(x)\approx\frac{16x(\pi-x)}{5\pi^2-4x(\pi-x)},\qquad x\in [0,\pi/2]\tag{4}$$

Comece com um polinômio parametrizado de 5ª ordem de simetria ímpar geral :

$$\begin{align} f(x) &= a_0 x^1 + a_1 x^3 + a_2 x^5 \\ &= x\big( a_0 + a_1 x^2 + a_2 x^4 \big) \\ &= x\bigg( a_0 + x^2 \Big(a_1 + a_2 x^2\Big) \bigg) \\ \end{align}$$

Agora, colocamos algumas restrições nessa função. A amplitude deve ser 1 nos picos, ou seja, $f(1) = 1$ . Substituindo $1$ por $x$ obtém-se:

$$a_0 + a_1 + a_2 = 1 \tag1$$

Essa é uma restrição. A inclinação nos picos deve ser zero, ou seja, $f'(1) = 0$ . A derivada de $f(x)$ é

$$a_0 + 3 a_1 x^2 + 5 a_2 x^4$$

e substituir $1$ por $x$ fornece nossa segunda restrição:

$$a_0 + 3 a_1 + 5 a_2 = 0 \tag2$$

Agora podemos usar nossas duas restrições para resolver para $a_1$ e $a_2$ em termos de $a_0$ .

$$a_1=\frac{5}{2}-2a_0 \\ a_2=a_0-\frac{3}{2}\tag{3}$$

Tudo o que resta é ajustar $a_0$ para obter um bom ajuste. Aliás, $a_0$ (e a inclinação na origem) acaba sendo $\approx\frac{\pi}{2}$ , como podemos ver a partir de umgráficoda função.

Otimização de parâmetros

Abaixo estão algumas otimizações dos coeficientes, que resultam nessas amplitudes relativas dos harmônicos em comparação com a frequência fundamental (1º harmônico):

Na complexa série de Fourier :

$$\sum_{k=-\infty}^\infty c_k e^{i\tfrac{2\pi}{P} kx},$$

de um verdadeiro $P\text{-}$ forma de onda periódica com $P = 4$ e tempo de simetria sobre $x = 1$ e com metade de um período definido pelo ângulo diferente função $f(x)$ sobre $-1 \le x \le 1,$ o coeficiente de a $k\text{th}$ exponencial complexa harmónica é:

$$c_k = \frac{1}{P}\int_{-1}^{-1+P}\left(\cases{f(x)&if $x < 1$\\-f(x-2)&if $x \ge 1$}\right)e^{-i\tfrac{2\pi}{P}kx}dx.$$

Devido à relação $2 \cos(x) = e^{ix} + e^{-ix}$ (veja a fórmula de Euler ), a amplitude de um harmônico sinusoidal real com $k > 0$ é $2\left|c_k\right|,$ que é o dobro da magnitude do exponencial complexo da mesma frequência. Isso pode ser massageado de uma forma que facilita para alguns softwares de matemática simbólica simplificar a integral:

$$2|c_k| = \frac{2}{4}\left|\int_{-1}^{3}\left(\cases{f(x)&if $x < 1$\\-f(x-2)&if $x \ge 1$}\right)e^{-i\tfrac{2\pi}{4}kx}dx\right|\\ = \frac{1}{2}\left|\int_{-1}^{1}f(x)e^{-i\tfrac{\pi}{2}kx}dx - \int_{1}^{3}f(x-2)e^{-i\tfrac{\pi}{2}kx}dx\right|\\ = \frac{1}{2}\left|\int_{-1}^{1}f(x)e^{-i\tfrac{\pi}{2}kx}dx - \int_{-1}^{1}f(x+2-2)e^{-i\tfrac{\pi}{2}k(x+2)}dx\right|\\ = \frac{1}{2}\left|\int_{-1}^{1}f(x)e^{-i\tfrac{\pi}{2}kx}dx - \int_{-1}^{1}f(x)e^{-i\tfrac{\pi}{2}k(x+2)}dx\right|\\ = \frac{1}{2}\left|\int_{-1}^{1}f(x)\left(e^{-i\tfrac{\pi}{2}kx} - e^{-i\tfrac{\pi}{2}k(x+2)}\right)dx\right|\\ = \frac{1}{2}\left|e^{i\tfrac{\pi}{2}x}\int_{-1}^{1}f(x)\left(e^{-i\tfrac{\pi}{2}kx} - e^{-i\tfrac{\pi}{2}k(x+2)}\right)dx\right|\\ = \frac{1}{2}\left|\int_{-1}^{1}f(x)\left(e^{-i\frac{\pi}{2}k(x-1)}-e^{-i\frac{\pi}{2}k(x+1)}\right)dx\right|$$

O exposto acima tira proveito disso $|e^{ix}|=1$ para $x.$ real . É mais fácil para alguns sistemas de álgebra computacional simplificar a integral assumindo que $k$ é real e simplificar para o número $k$ no final. O Wolfram Alpha pode integrar termos individuais da integral final correspondente aos termos do polinômio $f(x)$ . Para os coeficientes dados na Eq. 3 temos amplitude:

$$= \left|\frac{48\left((-1)^k - 1\right)\left(16\,a_0\left(\pi^2 k^2 - 10\right) - 5\times(5\pi^2 k^2 - 48)\right)}{\pi^6k^6}\right|$$

5ª ordem, derivada contínua

Nós podemos resolver para o valor de $a_0$ que dá igual amplitude $2|c_k|$do 3º e 5º harmônico. Haverá duas soluções correspondentes ao 3º e 5º harmônicos com fases iguais ou opostas. A melhor solução é a que minimiza a amplitude máxima dos 3º e acima dos harmônicos e, equivalentemente, a amplitude relativa máxima dos 3º e acima dos harmônicos em comparação com a frequência fundamental (1º harmônico):

$$a_0 = \frac{3\times(132375\pi^2 - 130832)}{16\times(15885\pi^2 - 16354)}\approx 1.569778813,\\ a_1 = \frac{5}{2} - 2a_0 = \frac{79425\pi^2 - 65416}{8\times(-15885\pi^2 + 16354)}\approx -0.6395576276,\\ a_2 = a_0 - \frac{3}{2} = \frac{15885\pi^2}{16\times(15885\pi^2 - 16354)}\approx 0.06977881382.$$

Isso fornece a frequência fundamental na amplitude $\frac{13679616}{15885\pi^6 - 16354\pi^4} \approx 1.000071420$e o 3º e o 5º harmônicos em amplitude relativa$\frac{1}{8906}$ ou cerca de$-78.99\text{ dB}$comparação com a frequência fundamental. Um$k\text{th}$harmônico tem amplitude relativa$\frac{\left(1 - (-1)^k\right)\left|8177k^2 - 79425\right|}{142496 k^6}.$

7ª ordem, derivada contínua

Da mesma forma, a aproximação polinomial ideal de 7ª ordem com as mesmas restrições iniciais e o 3º, 5º e 7º harmônico no menor nível igual possível é:

$$\begin{align} f(x) &= a_0 x^1 + a_1 x^3 + a_2 x^5 + a_3 x^7\\ &= x\big( a_0 + a_1 x^2 + a_2 x^4 + a_3 x^7 \big) \\ &= x\bigg( a_0 + x^2 \Big(a_1 + x^2 \big(a_2 + a_3 x^2 \big) \Big) \bigg) \\ \end{align}$$

$$a_0 = \frac{2a_2 + 4a_3 + 3}{2} \approx 1.570781972,\\ a_1 = -\frac{4a_2 + 6a_3 + 1}{2} \approx -0.6458482979,\\ a_2 = \frac{347960025\pi^4 - 405395408\pi^2}{16\times(281681925 \pi^4 - 405395408 \pi^2 + 108019280)} \approx 0.07935067784,\\ a_3 = - \frac{16569525\pi^4}{16\times(281681925\pi^4 - 405395408\pi^2 + 108019280)} \approx -0.004284352588.$$

$\frac{2293523251200}{281681925\pi^8 - 405395408\pi^6 + 108019280\pi^4} \approx 0.9999983752,$$\frac{1}{1555395} \approx -123.8368\text{ dB}$comparação com o fundamental. Um$k\text{th}$harmônico tem amplitude relativa$\frac{\left(1 - (-1)^k\right)\left|1350241k^4 - 50674426k^2 + 347960025\right|}{597271680k^8}$ comparação com o fundamental.

5ª ordem

Se o requisito de uma derivada contínua for descartado, a aproximação de 5ª ordem será mais difícil de resolver simbolicamente, porque a amplitude do 9º harmônico aumentará acima da amplitude do 3º, 5º e 7º harmônico, se esses forem restritos a serem igual e minimizado. Testando 16 soluções diferentes correspondentes a diferentes subconjuntos de três harmônicos de $\{3, 5, 7, 9\}$ com amplitude igual e fases iguais ou opostas, a melhor solução é:

$$f(x) = a_0 x^1 + a_1 x^3 + a_2 x^5\\ a_0 = 1 - a_1 - a_2 \approx 1.570034357\\ a_1 = \frac{3\times(2436304\pi^2 - 2172825\pi^4)}{8\times(1303695\pi^4 - 1827228\pi^2 + 537160)} \approx -0.6425216143\\ a_2 = \frac{1303695\pi^4}{16\times(1303695\pi^4 - 1827228\pi^2 + 537160)} \approx 0.07248725712$$

$\frac{1080430592}{1303695\pi^6 - 1827228\pi^4 + 537160\pi^2} \approx 0.9997773320.$$\frac{7}{263777} \approx -91.52\text{ dB},$$\frac{726083}{31033100273} \approx -92.6\text{ dB}$$k\text{th}$$\frac{\left(1 - (-1)^k\right)\left|67145k^4 - 2740842k^2 + 19555425\right|}{33763456k^6}.$

$x = \pm 1$$x \approx \pm 1.002039940.$$x = 1$$0.004905799828$$k,$

7ª ordem

Uma aproximação de 7ª ordem sem derivada contínua pode ser encontrada da mesma forma. A abordagem requer o teste de 120 soluções diferentes e foi automatizada pelo script Python no final desta resposta. A melhor solução é:

$$f(x) = a_0 x^1 + a_1 x^3 + a_2 x^5 + a_3 x^7\\ a_0 = 1 - a_1 - a_2 - a_3 \approx 1.5707953785726114835\\ a_1 = - \frac{5\times(4374085272375\pi^6 - 6856418226992\pi^4 + 2139059216768\pi^2)}{16\times(2124555703725\pi^6 - 3428209113496\pi^4 + 1336912010480\pi^2 - 155807094720)} \approx -0.64590724797262922190\\ a_2 = \frac{2624451163425\pi^6 - 3428209113496\pi^4}{16\times(2124555703725\pi^6 - 3428209113496\pi^4 + 1336912010480\pi^2 - 155807094720)} \approx 0.079473610232926783079\\ a_3 = -\frac{124973864925\pi^6}{16\times(2124555703725\pi^6 - 3428209113496\pi^4 + 1336912010480\pi^2 - 155807094720)} \approx -0.0043617408329090447344$$

$\frac{16991801282396160}{2124555703725\pi^8 - 3428209113496\pi^6 + 1336912010480\pi^4 - 155807094720\pi^2} \approx 1.0000024810802368487.$$\frac{50}{2400688077}\approx -133.627\text{ dB}.$$k\text{th}$$\frac{\left(1 - (-1)^k\right)\left|-162299057k^6 + 16711400131k^4 - 428526139187*k^2 + 2624451163425\right|}{4424948250624k^8}.$

Fonte Python

from sympy import symbols, pi, solve, factor, binomial

numEq = 3 # Number of equations
numHarmonics = 6 # Number of harmonics to evaluate

a1, a2, a3, k = symbols("a1, a2, a3, k")
coefficients = [a1, a2, a3]
harmonicRelativeAmplitude = (2*pi**4*a1*k**4*(pi**2*k**2-12)+4*pi**2*a2*k**2*(pi**4*k**4-60*pi**2*k**2+480)+6*a3*(pi**6*k**6-140*pi**4*k**4+6720*pi**2*k**2-53760)+pi**6*k**6)*(1-(-1)**k)/(2*k**8*(2*pi**4*a1*(pi**2-12)+4*pi**2*a2*(pi**4-60*pi**2+480)+6*a3*(pi**6-140*pi**4+6720*pi**2-53760)+pi**6))

harmonicRelativeAmplitudes = []
for i in range(0, numHarmonics) :
    harmonicRelativeAmplitudes.append(harmonicRelativeAmplitude.subs(k, 3 + 2*i))

numCandidateEqs = 2**numHarmonics
numSignCombinations = 2**numEq
useHarmonics = range(numEq + 1)

bestSolution = []
bestRelativeAmplitude = 1
bestUnevaluatedRelativeAmplitude = 1
numSolutions = binomial(numHarmonics, numEq + 1)*2**numEq
solutionIndex = 0

for i in range(0, numCandidateEqs) :
    temp = i
    candidateNumHarmonics = 0
    j = 0
    while (temp) :
        if (temp & 1) :
            if candidateNumHarmonics < numEq + 1 :
                useHarmonics[candidateNumHarmonics] = j
            candidateNumHarmonics += 1
        temp >>= 1
        j += 1
    if (candidateNumHarmonics == numEq + 1) :
        for j in range(0,  numSignCombinations) :
            eqs = []
            temp = j
            for n in range(0, numEq) :
                if temp & 1 :
                    eqs.append(harmonicRelativeAmplitudes[useHarmonics[0]] - harmonicRelativeAmplitudes[useHarmonics[1+n]])
                else :
                    eqs.append(harmonicRelativeAmplitudes[useHarmonics[0]] + harmonicRelativeAmplitudes[useHarmonics[1+n]])
                temp >>= 1
            solution = solve(eqs, coefficients, manual=True)
            solutionIndex += 1
            print "Candidate solution %d of %d" % (solutionIndex, numSolutions)
            print solution
            solutionRelativeAmplitude = harmonicRelativeAmplitude
            for n in range(0, numEq) :                
                solutionRelativeAmplitude = solutionRelativeAmplitude.subs(coefficients[n], solution[0][n])
            solutionRelativeAmplitude = factor(solutionRelativeAmplitude)
            print solutionRelativeAmplitude
            solutionWorstRelativeAmplitude = 0
            for n in range(0, numHarmonics) :
                solutionEvaluatedRelativeAmplitude = abs(factor(solutionRelativeAmplitude.subs(k, 3 + 2*n)))
                if (solutionEvaluatedRelativeAmplitude > solutionWorstRelativeAmplitude) :
                    solutionWorstRelativeAmplitude = solutionEvaluatedRelativeAmplitude
            print solutionWorstRelativeAmplitude
            if (solutionWorstRelativeAmplitude < bestRelativeAmplitude) :
                bestRelativeAmplitude = solutionWorstRelativeAmplitude
                bestUnevaluatedRelativeAmplitude = solutionRelativeAmplitude                
                bestSolution = solution
                print "That is a new best solution!"
            print

print "Best Solution is:"
print bestSolution
print bestUnevaluatedRelativeAmplitude
print bestRelativeAmplitude

Você está perguntando isso por razões teóricas ou uma aplicação prática?

Geralmente, quando você tem uma função cara de calcular em um intervalo finito, a melhor resposta é um conjunto de tabelas de pesquisa.

Uma abordagem é usar as parábolas mais adequadas:

n = piso (x * N + 0,5);

d = x * N - n;

i = n + N / 2;

y = L_0 + L_1 [i] * d + L_2 [i] * d * d;

Ao encontrar a parábola em cada ponto que atenda aos valores de d sendo -1/2, 0 e 1/2, em vez de usar as derivadas em 0, você garante uma aproximação contínua. Você também pode alterar o valor x, em vez do índice da matriz, para lidar com seus valores x negativos.

Ced

===================================================

Acompanhamento:

A quantidade de esforço e os resultados que foram encontrados para encontrar boas aproximações é muito impressionante. Eu estava curioso para saber como minha solução parabólica chata e sem graça seria comparada. Não surpreendentemente, faz muito melhor. Aqui estão os resultados:

   Método Mínimo Máximo Médio RMS
  -------- -------- -------- -------- --------
     Potência -8.48842 1.99861 -4.19436 5.27002
    OP S_3 -2.14675 0.00000 -1.20299 1.40854
     Bhask -1,34370 1,63176 -0,14367 0,97353
     Relação -0,24337 0,22770 -0,00085 0,16244
     rbj 5 -0,06724 0,15519 -0,00672 0,04195
    Olli5C -0,16367 0,20212 0,01003 0,12668
     Olli5 -0,26698 0,00000 -0,15177 0,16402
    Olli7C -0,00213 0,00000 -0,00129 0,00143
     Olli7 -0,00005 0,00328 0,00149 0,00181
    Para16 -0,00921 0,00916 -0,00017 0,00467
    Para32 -0,00104 0,00104 -0,00001 0,00053
    Para64 -0,00012 0,00012 -0,00000 0,00006

Os valores representam 1000x o erro entre a aproximação e o real avaliado a cada 0,0001 de uma escala de 0 a 1 (inclusive), portanto, 10001 pontos no total. A escala é convertida para avaliar as funções de 0 a$\pi/2$, exceto as equações de Olli Niemitalo que usam a escala de 0 a 1. Os valores das colunas devem ser claros nos cabeçalhos. Os resultados não mudam com um espaçamento de 0,001.

A linha "Power" é a equação: $x-\frac{x^e}{6}$.

A linha rbj 5 é igual à solução c5 de Matt L.

16, 32 e 64 são o número de intervalos que têm ajustes parabólicos. É claro que existem descontinuidades insignificantes na primeira derivada em cada limite de intervalo. Os valores da função são contínuos. Aumentar o número de intervalos apenas aumenta os requisitos de memória (e o tempo de inicialização), não aumenta a quantidade de cálculo necessária para a aproximação, que é menor que qualquer outra equação. Eu escolhi potências de dois porque uma implementação de ponto fixo poderia salvar uma divisão usando um AND nesses casos. Além disso, não queria que a contagem fosse proporcional à amostra de teste.

Eu executei o programa python de Olli Niemitalo e obtive isso como parte da impressão: "Solução candidata 176 de 120" Eu pensei que isso era estranho, por isso estou mencionando.

Se alguém quiser que eu inclua alguma das outras equações, informe-me nos comentários.

Aqui está o código para as aproximações parabólicas por partes. Todo o programa de teste é muito longo para ser postado.

# =================================================== ============================
def FillParab (argArray, argPieceCount):

# y = anúncio ^ 2 + bd + c

# ym = a .25 - b .5 + c
# y = c
# yp = a .25 + b .5 + c

# c = y
# b = yp - ym
# a = (yp + ym - 2y) * 2

# ---- Calcular matrizes de pesquisa

        theStep = pi * .5 / float (argPieceCount - 1)
        theHalf = theStep * .5

        theL0 = zeros (argPieceCount)
        theL1 = zeros (argPieceCount)
        theL2 = zeros (argPieceCount)

        para k no intervalo (0, argPieceCount):
         x = flutuante (k) * theStep

         ym = pecado (x - metade)
         y = pecado (x)
         yp = sin (x + meio)

         theL0 [k] = y
         theL1 [k] = yp - ym
         theL2 [k] = (yp + ym - 2,0 * y) * 2

# ---- Preencher

        theN = len (argArray)

        theFactor = pi * .5 / float (theN - 1)

        para i no intervalo (0, theN):
         x = flutuante (i) * o fator

         kx = x / theStep
         k = int (kx + 0,5)
         d = kx - k

         argArray [i] = theL0 [k] + (theL1 [k] + theL2 [k] * d) * d

# =================================================== ============================

=======================================

Apêndice

Eu incluí hóspedes $S_3$função da postagem original como "OP S_3" e a fórmula de dois parâmetros do Guest nos comentários como "Proporção". Ambos estão na escala de 0 a 1. Eu não acho que o Ratio one seja adequado para cálculo em tempo de execução ou para a construção de uma tabela de pesquisa. Afinal, é significativamente mais computação para a CPU do que apenas uma chamada simples sin (). É interessante matematicamente.