Qual é a diferença entre PSD e magnitude quadrática do espectro de frequências?

O espectro de potência de um sinal pode ser calculado considerando a magnitude ao quadrado da sua transformada de Fourier. Sendo uma pessoa de áudio, o sinal de interesse para mim seria uma série temporal.

Como essa representação difere de um PSD (densidade espectral de potência) e, mais importante, em que situações práticas deve-se usar um PSD em vez do espectro de potência descrito acima?

— learnvst
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A densidade espectral de potência descreve a densidade de potência em um processo aleatório estacionário por unidade de frequência. Pelo teorema de Wiener-Khinchin , ele pode ser calculado da seguinte forma para um processo aleatório estacionário de sentido amplo : $X(t)$

S_{x x} (f) = \int_{- \infty}^{\infty} r_{x x} (τ) e^{- j 2 π f τ} d τ

$S_{xx}(f) = \int_{-\infty}^{\infty} r_{xx}(\tau) e^{-j2\pi f \tau} d\tau$

onde é a função de autocorrelação do processo : $r_{xx}(\tau)$ $X(t)$

r_{x x} (τ) = E (X (t) X (t - τ))

$r_{xx}(\tau) = \mathbb{E}\left(X(t)X(t - \tau)\right)$

Isso é válido apenas para um processo estacionário de sentido amplo, porque sua função de autocorrelação é apenas uma função do intervalo de tempo e não do tempo absoluto ; Em outras palavras, isso significa que suas estatísticas de segunda ordem não mudam em função do tempo. $\tau$ $t$

Com isso dito, se você tiver um modelo estatístico suficientemente detalhado e preciso para o seu sinal, poderá calcular a densidade espectral de potência usando a relação acima. Como exemplo, isso pode ser usado para calcular a densidade espectral de potência dos sinais de comunicação, dadas as estatísticas dos símbolos de informação transportados pelo sinal e qualquer forma de pulso utilizada durante a transmissão.

Na maioria das situações práticas, esse nível de informação não está disponível, no entanto, e é preciso recorrer à estimativa da densidade espectral de potência de um determinado sinal. Uma abordagem muito direta é considerar a magnitude quadrática de sua transformada de Fourier (ou, talvez, a magnitude quadrada de várias transformações de Fourier de curto prazo e calculá-las como média) como estimativa do PSD. No entanto, supondo que o sinal que você está observando contenha algum componente estocástico (que geralmente é o caso), isso é apenas uma estimativado que o verdadeiro PSD subjacente se baseia em uma única realização (ou seja, uma única observação) do processo aleatório. Se o espectro de energia que você calcula tem alguma semelhança significativa com o PSD real do processo depende da situação.

Como observa este post anterior , existem muitos métodos para estimativa de PSD; o que é mais adequado depende do caráter do processo aleatório, de qualquer informação a priori que você possa ter e de quais características do sinal você está mais interessado.

— Jason R
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Concordo, mas gostaria de salientar que qualquer medida exploratória do ruído / sinal do mundo real é apenas uma estimativa. Aceitando que precisamos formular "bom o suficiente"; um critério. Em seguida, podemos sair do trem do ruído e aceitar uma estimativa que atenda ao "valor do ruído" do aplicativo. Aceite algumas falhas na vida e poderá obter algumas vitórias.

— Rogers #