Qual é o significado físico da convolução de dois sinais?

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Se envolvermos 2 sinais, obtemos um terceiro sinal. O que esse terceiro sinal representa em relação aos sinais de entrada?

convolution

— pj
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mathoverflow.net/questions/5892/what-is-convolution-intuitively

— Atul Ingle

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É apenas "reverter, mudar, multiplicar e somar", nada mais.

— chaohuang

Ele tem o significado de "média", em termos de processamento de sinal, o que pode significar a remoção de componentes de alta frequência.

— Giwrgos Rizeakos

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Estou procurando um recurso que explique o significado físico da convolução há um tempo e finalmente o encontrei aqui: colah.github.io/posts/2014-07-Understanding-Convolutions

— faridghar

considere qualquer sistema físico ou mecânico, então a entrada para o sistema é x (n), os parâmetros que já definimos é h (n). a função de trabalho para o sistema funcionar é y (N) = x (N) * h (N) ex: considere ondas senoidais como entrada para um multiplicador geralmente o multiplicador trabalha com tantos circuitos analógicos, podemos mudar o desempenho do dispositivo simplesmente variando parâmetros, então os parâmetros que passamos são h (n)

— user6151179

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Não existe nenhum significado "físico" para a operação de convolução. O principal uso da convolução na engenharia é descrever a saída de um sistema linear, invariável no tempo (LTI) . O comportamento de entrada e saída de um sistema LTI pode ser caracterizado através de sua resposta ao impulso , e a saída de um sistema LTI para qualquer sinal de entrada pode ser expressa como a convolução do sinal de entrada com a resposta ao impulso do sistema. $x(t)$

Ou seja, se o sinal for aplicado a um sistema LTI com resposta ao impulso , o sinal de saída será: $x(t)$ $h(t)$

y (t) = x (t) * h (t) = \int_{- \infty}^{\infty} x (τ) h (t - τ) d τ

$y(t) = x(t) * h(t) = \int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t - \tau)d\tau$

Como eu disse, não há muita interpretação física, mas você pode pensar em uma convolução qualitativamente como "borrar" a energia presente em no tempo de algum modo, dependendo da forma da resposta ao impulso . No nível de engenharia (matemáticos rigorosos não aprovariam), você pode obter algumas dicas olhando mais de perto a estrutura do próprio integrando. Você pode pensar na saída como a soma de um número infinito de cópias da resposta ao impulso, cada uma alterada por um atraso de tempo ligeiramente diferente ( ) e escalada de acordo com o valor do sinal de entrada no valor de que corresponde ao atraso: . $x(t)$ $h(t)$ $y(t)$ $\tau$ $t$ $x(\tau)$

Esse tipo de interpretação é semelhante a levar a convolução em tempo discreto (discutido na resposta de Atul Ingle) a um limite de um período de amostra infinitesimalmente curto, que novamente não é totalmente matematicamente correto, mas cria uma maneira decentemente intuitiva de visualizar a ação para um sistema de tempo contínuo.

— Jason R
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O integrando deve ser

x (τ) h (t - τ) .

$x(\tau) h(t-\tau).$

— Atul Ingle

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Mas isso não é apenas mudar o sinal e, em seguida, obter a soma da saída, um dos sinais é revertido primeiro, diferentemente da correlação. imagens.

— Pj

@ParagJain: Na verdade, é apenas a soma de muitas (na verdade, um número infinito) de cópias em escala da resposta ao impulso. O termo de resposta ao impulso não é revertido em relação à variável de tempo . Para correlação cruzada, como você observou, o sinal dentro do argumento de resposta ao impulso é alterado para um . Não importa se é realmente a resposta de um sistema de LTI ou não; pode ser uma imagem como você propôs ou qualquer sinal para esse assunto. A ação de difusão criada pela convolução é a mesma, conforme descrito nas respostas aqui.

h (t - τ)

$h(t-\tau)$

t

$t$

τ

$\tau$

+

$+$

h (t)

$h(t)$

— Jason R

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Uma explicação intuitiva particularmente útil que funciona bem para sinais discretos é pensar na convolução como uma "soma ponderada de ecos" ou "soma ponderada de memórias".

Por um momento, suponha que o sinal de entrada para um sistema LTI discreto com função de transferência seja um impulso . A convolução é Este é apenas um eco (ou memória) da função de transferência com atraso de k unidades. $h(n)$ $\delta(n-k)$

\begin{array}{rcl} y (n) & = & \sum_{m = - \infty}^{\infty} δ (m - k) h (n - m) \\ = & h (n - k) . \end{array}

$\begin{eqnarray} y(n) &=& \sum_{m=-\infty}^{\infty} \delta(m-k) h(n-m) \\ &=& h(n-k). \end{eqnarray}$

Agora pense em um sinal de entrada arbitrário como uma soma das funções ponderadas . Em seguida, a saída é uma soma ponderada das versões atrasadas de h (n). $x(n)$ $\delta$

Por exemplo, se , escreva . $x(n) = \{1, 2, 3\}$ $x(n) = \delta(n) + 2 \delta(n-1) + 3 \delta(n-2)$

O resultado deste sistema é uma soma dos ecos , e com pesos adequados 1, 2, e 3, respectivamente. $h(n)$ $h(n-1)$ $h(n-2)$

Então . $y(n) = h(n) + 2h(n-1)+3h(n-2)$

— Atul Ingle
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Pode ser muito útil adicionar uma representação gráfica de cada uma de suas equações. Algumas pessoas (como eu) entendem melhor a convolução quando a visualizam.

— precisa saber é o seguinte

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@PhilMacKay Para uma representação gráfica (na verdade uma representação tabular) de convolução discreta, consulte esta resposta .

— precisa

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"ecos" devem realmente ser substituídos por "memórias". Recordação de Coisas Passadas: Proust.

— Rogers #

Para uma representação gráfica que mostra a convolução de dois sinais de vagão, consulte blog.mbedded.ninja/programming/signal-processing/convolution

— gbmhunter

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Uma boa maneira intuitiva de entender a convolução é observar o resultado da convolução com uma fonte pontual.

Como exemplo, a convolução 2D de um ponto com a óptica defeituosa do Telescópio Espacial Hubble cria esta imagem:

Agora imagine o que acontece se houver duas (ou mais) estrelas em uma imagem: você obtém esse padrão duas vezes (ou mais), centralizado em cada estrela. A luminosidade do padrão está relacionada à luminosidade de uma estrela. (Observe que uma estrela é praticamente sempre uma fonte pontual.)

Esses padrões são basicamente a multiplicação da fonte pontual com o padrão complicado, com o resultado armazenado no pixel, de modo que ele reproduz o padrão quando a imagem resultante é visualizada na sua totalidade.

Minha maneira pessoal de visualizar um algoritmo de convolução é a de um loop em cada pixel da imagem de origem. Em cada pixel, você multiplica pelo valor do padrão complicado e armazena o resultado no pixel em que posição relativa corresponde ao padrão. Faça isso em todos os pixels (e some resultados em todos os pixels) e você obtém o resultado.

— PhilMacKay
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Pense nisso ... Imagine um tambor que você está tocando repetidamente para ouvir a música, certo? Sua baqueta pousará na membrana pela primeira vez devido ao impacto que vibrará; quando você a atingir pela segunda vez, a vibração devido ao primeiro impacto já se deteriorou em certa medida. Portanto, qualquer som que você ouvirá será a batida atual e a soma da resposta deteriorada dos impactos anteriores. Portanto, se é a força de impacto no ésimo momento, então o impacto será Força Tempo de impacto $x(k)$ $k$ $x$

Qual é

$x(k)dk$

Onde é infinitamente pequeno tempo de impacto $dk$

e você estiver ouvindo o som @ , o tempo decorrido será , suponha que se a membrana do tambor tiver um efeito de decaimento, definido por uma função , onde é o tempo decorrido, no nosso caso , então a resposta do impacto @ será . Portanto, o efeito de no tempo t será a multiplicação de ambos, ou seja, . $t$ $t-k$ $h(u)$ $u$ $t-k$ $k$ $h(t-k)$ $x(k)dk$ $x(k)h(t-k)dk$

Portanto, o efeito geral da música que ouvimos será o efeito integrado de todos os impactos. Isso também do infinito negativo ao infinito mais. Qual é o que é conhecido como convolução.

— abhilash
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ilustração interessante :)

— tomab

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Você também pode pensar em convolução como mancha / suavização de um sinal por outro. Se você tiver um sinal com pulsos e outro, digamos, um único pulso quadrado, o resultado serão pulsos manchados ou suavizados.

Outro exemplo é que dois pulsos quadrados convoluídos saem como um trapézio achatado.

— charan
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Se você tirar uma foto com uma câmera com a lente desfocada, o resultado é uma convolução da imagem focada com a função de dispersão pontual da desfocagem.

A distribuição de probabilidade da soma de um par de dados é a convolução das distribuições de probabilidade dos dados individuais.

Multiplicação longa é convolução, se você não passar de um dígito para o próximo. E se você virar um dos números. {2, 3, 7} convolvido com {9, 4} é {8, 30, 55, 63}

      2   3   7
   X      4   9
---------------
     18  27  63 
  8  12  28
---------------
  8  30  55  63

(Você pode terminar a multiplicação carregando o "6" de 63 para o 55 e assim por diante.)

— John Seymour
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Em sinais e sistemas, a convolução é normalmente usada com sinal de entrada e resposta ao impulso para obter um sinal de saída (terceiro sinal). É mais fácil ver a convolução como "soma ponderada de entradas passadas" porque os sinais passados também influenciam a saída atual.

Não tenho certeza se essa é a resposta que você estava procurando, mas gravei um vídeo recentemente porque me incomodou por um longo tempo. https://www.youtube.com/watch?v=1Y8wHa3fCKs&t=14s Aqui está um pequeno vídeo. Por favor, desculpe meu inglês lol.

— J.Lee
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Outra maneira de analisar a convolução é considerar que você tem duas coisas:

DADOS - quantidades certamente corrompidas por algum ruído - e em posições aleatórias (no tempo, espaço, nomeie-o)
PADRÃO = algum conhecimento de como as informações devem se parecer

a convolução de DATA com (o espelho simétrico do) PATTERN é outra quantidade que avalia - conhecendo o PATTERN - a probabilidade de ele estar em cada uma das posições dentro do DATA.

Tecnicamente, em todas as posições, essa quantidade é a correlação (este é o espelho do PADRÃO) e, portanto, mede a probabilidade logarítmica sob algumas suposições gerais (ruído gaussiano independente). A convolução permite calculá-lo em cada posição (no espaço, no tempo ...) em paralelo.

— meduz
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Uma convolução é uma integral que expressa a quantidade de sobreposição de uma função (digamos ), à medida que se desloca sobre outra função (digamos ) onde . $g$ $f$ $g*f$

— Shivani sharma
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O significado físico é um sinal que passa através de um sistema LTI! Convolução é definida como flip (um dos sinais), shift, multiplicar e somar. Vou explicar minha intuição sobre cada um.

1. Por que lançamos um dos sinais em convolução? O que isso significa?

Porque o último ponto na representação do sinal de entrada é realmente o primeiro a entrar no sistema (observe o eixo do tempo). A convolução é definida para sistemas invariantes com temporizador linear. Está tudo relacionado ao tempo e à forma como o representamos em matemática. Existem dois sinais em convolução, um representa o sinal de entrada e um representa a resposta do sistema. Portanto, a primeira pergunta aqui é Qual é o sinal da resposta do sistema? Resposta do sistema é a saída do sistema em um dado tempo tpara uma entrada com apenas um elemento diferente de zero em um determinado tempo t(sinal de impulso que é alterado por t).

2. Por que os sinais são multiplicados ponto a ponto?

Novamente, vamos consultar a definição de sinal de resposta do sistema. Como dito, é o sinal que é formado através do deslocamento de uma função de impulso te plotando a saída para cada um deles t's. Também podemos imaginar o sinal de entrada como soma das funções de impulso com diferentes amplitudes (escalas) e fases. OK, então a resposta do sistema ao sinal de entrada em um determinado momento é a própria resposta do sinal multiplicada pela (ou escalada pela) amplitude da entrada naquele tempo determinado.

3. O que significa mudar?

Dito isto (1 e 2), o deslocamento é realizado para obter a saída do sistema para qualquer ponto de sinal de entrada de cada vez t.

Espero que ajude vocês!

— MimSaad
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$x_1$ $x_2$ $x_2$ $x_1$

Uma "visão do sistema" mais longa segue: Pense em uma visão ideal ( platônica ) de um ponto. A cabeça de um alfinete, muito fina, em algum lugar no espaço vazio. Você pode abstraí-lo como um Dirac (discreto ou contínuo).

Olhe de longe, ou como uma pessoa míope (como eu sou), ela fica embaçada. Agora imagine que o ponto também está olhando para você. Do ponto de vista "ponto de vista", você também pode ser uma singularidade. O ponto também pode ser míope, e o meio entre vocês dois (você como singularidade e o ponto) pode não ser transparente.

Então, a convolução é como uma ponte sobre águas turbulentas . Eu nunca pensei que poderia citar Simon e Garfunkel aqui. Dois fenômenos tentando se agarrar. O resultado é o desfoque de um desfocado pelo outro, simetricamente. Os borrões não precisam ser os mesmos. Seu desfoque míope combina igualmente com a imprecisão do objeto. A simetria é tal que, se a imprecisão do objeto se tornar sua deficiência visual e vice-versa, o desfoque geral permanecerá o mesmo. Se um deles é ideal, o outro é intocado. Se você pode ver perfeitamente, você vê a desfocagem exata do objeto. Se o objeto é um ponto perfeito, obtém-se a medida exata de sua miopia.

$\log$

Você pode verificar Mas por quê? Matemática Intuitiva: Convolução

— Laurent Duval
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A maneira como você ouve o som em um determinado ambiente (sala, espaço aberto etc.) é uma convolução do sinal de áudio com a resposta de impulso desse ambiente.

Nesse caso, a resposta ao impulso representa as características do ambiente, como reflexos de áudio, atraso e velocidade do áudio, que varia com a temperatura.

— VHampiholi
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Para reformular as respostas:

Para o processamento do sinal, é a soma ponderada do passado no presente. Normalmente, um termo é o histórico de tensão na entrada de um filtro e o outro termo é o filtro a ou alguns que possuem "memória". Obviamente, no processamento de vídeo, todos os pixels adjacentes substituem o "passado".

Para probabilidade, é uma probabilidade cruzada para um evento dado outros eventos; o número de maneiras de obter um 7 no craps é a chance de obter um: 6 e 1, 3 e 4, 2 e 5. ie a soma das probabilidades P (2) vezes a probabilidade P (7-2): P ( 7-2) P (2) + P (7-1) * P (1) + .....

— rrogers
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Convolução é uma maneira matemática de pentear dois sinais para formar um terceiro sinal. É uma das técnicas mais importantes no DSP ... por quê? Porque, usando esta operação matemática, você pode extrair a resposta ao impulso do sistema. Se você não souber por que a resposta ao impulso do sistema é importante, leia sobre isso em http://www.dspguide.com/ch6.htm . Usando a estratégia de decomposição de impulso, os sistemas são descritos por um sinal chamado resposta ao impulso. A convolução é importante porque relaciona os três sinais de interesse: o sinal de entrada, o sinal de saída e a resposta ao impulso . É uma operação matemática formal, assim como multiplicação, adição e integração. A adição leva dois números e produz um terceiro número, enquanto a convolução toma dois sinais e produz um terceiro sinal . Em sistemas lineares, a convolução é usada para descrever a relação entre três sinais de interesse: o sinal de entrada, a resposta ao impulso e o sinal de saída (de Steven W. Smith). Novamente, isso está altamente vinculado ao conceito de resposta ao impulso que você precisa ler sobre isso.

— S Fateri
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O impulso causa a sequência de saída que captura a dinâmica do sistema (futuro). Ao virar essa resposta de impulso, usamos-a para calcular a saída de A combinação ponderada de todos os valores de entrada anteriores. Esta é uma dualidade incrível.

— LARRY OBERDIER
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Em termos simples, significa transferir entradas de um domínio para outro domínio, onde achamos mais fácil trabalhar. A convocação está ligada à transformação de Laplace e, às vezes, é mais fácil trabalhar no domínio s, onde podemos fazer adições básicas às frequências. e também como a transformação laplace é uma função individual, é mais provável que não corramos a entrada. Antes de tentar entender o que o teorema geral da convulação significa em significado físico, devemos começar pelo domínio da frequência. adição e multiplicação escalar seguem a mesma regra que a transformação de Laplace é um operador linear. c1.Lap (f (x) + c2.Lap g (x) = Lap (c1.f (x) + c2.g (x)). Mas o que é Lap f (x) .Lap g (x). o que define o teorema da convulsão.

— debendra gurung
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